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10种方法让你像数学家一样思考

览众山奇观 166

前言:

眼前你们对“极大值极小值的求法”大约比较关心,各位老铁们都需要剖析一些“极大值极小值的求法”的相关资讯。那么小编在网上收集了一些对于“极大值极小值的求法””的相关资讯,希望看官们能喜欢,姐妹们快快来了解一下吧!

下面文章译自Kevin Houston公开提供的《10 Ways To Think Like A Mathematician》一书的试读小册子,这篇简短介绍展示了如何像一位数学家那样思考,如何用数学的眼光看待问题,以及如何运用数学的思维方法思考的难题。(这本书似乎暂时还没有中文版)

作者:Kevin Houston, kevinhouston.net/blog/2010/09/hello-world/

译者:实验室的猫

让我们首先承认一个事实:学数学确实不容易。然而,我坚信——而且信念坚定——只要你能像数学家那样洞察问题,学习数学的过程就会变得更加轻松。

因此,我的使命就是引导每一位学生,如何从数学家的角度去洞察世界。

这本小册子,正如它的标题所述,给出了十种方法,让你更接近数学家的思维方式。实际上,这本小册子是我畅销书籍《如何像数学家一样思考》的试读版。如果你希望避免单纯的应试学习,渴望真正理解数学的精髓,那么这本书就是为你而写的。

我希望这本小册子能激发你的灵感。如果有的话,请告诉我。我很想听听你的想法。

1. 质疑一切

在我看来,数学的魅力在于其能够被验证。你无需盲目接受别人的观点。如果有人宣称某事是真的,你完全可以要求他们来证明它。

更进一步,如果你真的希望像数学家那样思考,甚至可以自己去尝试把它证出来。不要让别人喂饭给你!

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你应该对他人的陈述持有怀疑的态度,试图找到反例来证明他们的错误。即便对方的观点是正确的,通过此种方式锻炼出的思维方式也是有益的。这种方式也有助于培养对于命题的敏感度。

比如,有人声称,从逻辑的角度思考,时间旅行是不可能的:如果时间旅行可能,那么我们自然会遇到很多来自未来的人。

对此,我能找到一些反驳的观点。比如,时间旅行只允许人向未来移动时间;时间旅行者不被允许与我们交流;时间旅行有一个范围,你不能回溯超过一年,而时间旅行还需要很多年才能实现(而且时间机器并不能被随时光运输)。

2. 写好每一句话

写好每一句话?你可能会问,这怎么会帮我像数学家一样思考?其实,一句完整准确的句子是论证的基础,高级数学更是关于证明的艺术,而不仅仅是得到正确的数值答案。

然而,许多学生忽视了书写句子的重要性。他们可能会抱怨:“我来上大学不是为了写论文的!”、“但我的答案是正确的!”或者“你知道我想说什么的!”

但是,如果你想真正理解数学并清晰地思考,你需要遵循句子书写的规范,这会让你非常仔细地思考你所论证的内容。如果你不能把句子正确地写出来,那么可能真的不清楚正在写什么。

这也是一个学习更多并提升你的技能的好机会。无论在哪个主题上,良好的写作都是一项有用的技能。因此,当你在写数学论证时,不要忽视句子的重要性。通过书写精确、清晰的句子,将更好地表达自己的想法,更好地理解数学,也更能成为像数学家一样思考的人。

【附加内容】提高你的数学写作和思维的一种简单方法是要知道如何正确使用 蕴含符号。】

3. 逆命题的奥秘是什么?

形如 的命题是数学的核心。我们也可以说“如果 为真,那么 就为真。而对于这样的命题,我们还有一个亲密的伙伴,那就是它的逆命题,写作“”。

例如,“如果我是温斯顿·丘吉尔,那么我就是英国人”的反命题是“如果我是英国人,那么我就是温斯顿·丘吉尔”。

”这个例子生动地揭示了一个事实:即使一个命题为真,它的反命题并不一定为真。反命题可能真,也可能假。我们需要通过深入的研究才能得出明确的结论。

作为一名优秀的数学家,当遇到一个“如果 ,则 ”类型的命题时,会自然而然地提出:“那它的逆命题成立吗?”这个问题应当深深地烙印在你的数学思维中,成为你的数学工具箱中重要的一部分。

实际上,无论逆命题是否为真并不重要,真正重要的是这个过程能助力你的数学思维变得更为敏锐。顺便提一句,人们在处理""时常犯的一个大错误是,他们认为如果 不为真,那么 也不为真。这是错误的,该命题只阐述了当 为真时会发生什么,而并未涉及到当 为假时的情况。那么,让我们一起挑战一下,像数学家一样思考,自己找出一个例子吧!

4. 探索逆否命题的奥秘

逆否命题(contrapositive)是陈述式 '' 的对应形式, 即 。

例如:

'如果我是温斯顿·丘吉尔,那么我就是英国人' 的逆命题是 '如果我不是英国人,那么我就不是温斯顿·丘吉尔'。'我不是美国人,因此我不是德克萨斯人' 的逆命题是 '如果我是德克萨斯人,那么我是美国人'。'' 的逆命题是 ''。

令人惊讶的是,逆命题的真值与 的真值相同!也就是说,如果 为真,那么 也为真,反之亦然。

以上例子就为这一点提供了验证。这个概念初接触时可能难以理解,不少人都会有所质疑。实际上,有一个知名的教育实验与逆命题的概念紧密相关,被称为华生选择任务(Wason’s selection task)。你是否愿意去试一试看能否通过这个测试呢?通过的人不足 。由于逆否命题在证明中的广泛应用,以及我们在日常推理中对逆否命题的常见误解,因此你应该好好地研究和理解它。

5. 考虑极端情况

在研究数学定理时,我们应该尝试将其应用于一些平凡的(trivial)或极端的值例子。例如,可以考虑将特定的数字取为 0 或 1,或者使用由 定义的平凡函数,采用空集或平凡序列如 ,或者考虑使用圆或直线等特殊情况。这些实例有助于我们更深入地理解定理,并能更清晰地揭示定理适用的情况。这种方法被称为“考虑极端的情况”。

思考

[实验室的猫]:在数学中,“trivial”通常翻译为“平凡的”或“显然的” ,将费马大定理描述为方程 对 没有非平凡解。显然,这个方程确实有解。比如 对任何 都是解,,, 也一样。但是这种解是显然而无趣的,从而称为平凡。

这些实例有助于我们更深入地理解定理,并能更清晰地揭示定理适用的情况。

举个例子,考虑这样的陈述:“,因此 ”。这个推理看上去似乎合情合理,因为 和 通常是不同的,但实际上这并不正确。试想当 的情况下, 是等于 的。这个例子清晰地展示了考虑极端例子的重要性,这种方法有助于我们更好地理解和运用数学定理。

另一个例子是考虑这个命题:“假设 和 是整数。如果 且 ,则 ”。要证明这个命题是错误的,我们可以采用极端例子的方法。为此,我们需要积累足够的例子并熟练掌握它们。假设 ,那么我们可以选择 和 ,这样就满足了条件 ,但 ,从而推翻了这个错误的命题。

总之,考虑极端例子是一种有用的方法,它能够帮助我们更好地理解和应用数学定理。在数学研究中,可能会遇到需要快速想出例子的情况,因此我们需要积累足够的例子并熟练掌握它们,以便在需要时能够迅速套用。

6. 构建你自己的例子

真正的数学家会设计出他们自己的例子,无论是标准的、极端的、还是反例!

让我们来看个较熟悉的例子,来体会整个流程吧。假设正在微积分的世界里探索函数的极大值和极小值。

首先需要理解函数是如何求导。然后,我们会了解到,那些导数值为零的点就是所说的驻点。接下来,会发现奇异点有三种形式:极大值、极小值和拐点。而函数的二阶导数能够帮我们确定这些驻点的类型。然后,我们就能看到一个具体的例子:这是一个函数,这是它的驻点,这是驻点的类型。这个过程看似简单,给定函数 ,对 求导,然后求解 ,再次求导得到 ,并且通过 的正负号判断驻点的类型。

这就是标准的处理方法。掌握了这个步骤,你就能轻松找出给定函数的极大值和极小值。然而,如果我换个角度问你:能否构造一个函数 ,使其在 处达到最大值,在 处达到最小值?这无疑是对你理解程度的更大考验,难度也更大。然而,正是在挑战这样的问题过程中,你能深入理解数学的魅力。

因此,面对已解答的例子,你应当逆向思考,自创新问题。更有趣的是,你可以与朋友们共同创造这些问题,交换彼此的问题,从而获取更多的练习机会。你甚至可以组织一场竞赛,看谁能设计出最具挑战性,但又能解决的问题。

7. 假设在何处发挥作用?

我经常听到学生们说,他们觉得理解数学证明非常困难。实际上,这并不出乎意料,因为证明往往是出于逻辑和效率的考虑,而非为了提供对定理表述的深度理解,或者揭示如何发现证明的过程。学生们常常陷入困境,甚至无法独立下手。

是的,理解证明的过程,无疑是迈向数学家之路最艰难的部分之一。《如何像数学家一样思考》的第 18 章全篇都是关于理解证明的各种策略——例如,分解证明,将证明应用于实例。我们只需考虑下面的技巧。

每个定理都有其假设。比如,毕达哥拉斯定理就会先假设平面上有一个直角三角形。这些假设在证明中必然会被使用,否则就成了无用之物。因此,积极寻找假设在何处被使用,你就能开始理解证明的过程。

有些假设可能不会直接阐明清楚。比如,证明可能会说“……根据定理 5.7,我们发现……”,而定理 5.7 可能需要更前面的某个假设。(顺便一提,如果一个定理在不同的证明中被反复使用,那它一定具有重要性,可能会被用在你的证明中,所以务必深入学习理解它。)

通过搞清假设,你就能开始步入证明的世界,学习其结构和内在联系。作为额外的奖赏,你的记忆也会得到加强,因为不再是被动接受信息,而是在主动探求知识。这种主动探求的过程,无疑能让你更好地理解和记住所学的内容!

8. 从复杂的一方开始

我最重要的一条建议是:在证明等价性时,通常最好从等式中较为复杂的一方开始,逐步替换以简化其复杂性。这样不仅能使问题更加清晰,还能让我们更加明确目标。

例如,想要证明对于所有的 且 (其中 ),成立 时,我们需要执行以下步骤:

注意,复杂的一方(或者更准确地说,我们可以进行替代和简化的一方)始终在等式的一边。如果你从等式开始并尝试重新排列它(如许多人所做),那么你有可能陷入循环。你也可能冒着要证明假设的风险。

9. 提问"如果...会怎样?"

优秀的数学家善于提出这样的诘问:“假设……会怎样?”例如,若我们删掉某项假设,会有何影响?深度探求此类问题,我们能对为何某一结果为真,或者某条定义为何这样阐述,有更深一层的理解。有时候,减弱假设的力度,竟会带领我们走向新的定理的发现!

再举一个“假设”的例子,数学对象通常是在附加某些条件的前提下的集合。在最简单的层次上,我们可以将有限集定义为元素数量有限的集合,但也有更为复杂的例子,如群。(群是一种拥有特定"乘法"运算的集合,且这种乘法需要满足特定的性质。)

现在,假设我们有集合 和 ,我们可以构造他们的乘积 。我们可以问:如果 和 各自具备某种性质,那么 是否也拥有同样的性质?例如,假设 和 都是有限集,那么 是有限集吗?答案是肯定的。如果 和 都是无穷集,那么 是无穷集吗?如果 和 分别是群,那么 是群吗?如果拓扑空间 和 是紧致空间,那么 也是吗?等等。

这个理念在于,我们总是通过提问,去扩展知识边界,加深我们的理解。

10. 交流沟通,知识的交融!

当克里斯托弗·泽曼爵士创立沃里克大学的数学研究所时,他提出的一个核心理念是:为了营造浓厚的数学气氛,研究所应当在走廊里摆放足够多的黑板,而不仅仅是在讲堂内,以便于人们随时停下脚步,互相交流和解释各自的研究。

这种做法不仅可以鼓励合作,更重要的是,它可以让每个人的工作得到他人的检验。剑桥的艾萨克·牛顿研究所更是将这种理念发扬光大,在厕所、甚至在只运行两层的电梯里都设置了黑板!

与他人进行交流沟通有着无数的好处。解释你的工作会促使你更深入、更清晰地思考。你可以从别人那里学习,他们可以指出思维中的漏洞,或者提出解决问题的新思路。甚至你在解说的过程中,也可能获得新的启发。

因此,寻找一个可以交谈的人。没有找到?那就去寻找。如果在教师,试着坐到某人旁边,询问他们如何完成练习 3.2 或者其他的。就从这里开始你的数学之旅吧……

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