首先是基础概念理解：

①互斥事件，用集合的角度理解。

②全概率公式的意思，以及应用全概率公式的条件，两个事件必须的有相关性的。

以人教版A《选择性必修三》中的例题为例，分析事件发生的过程，此题比较简单，好理解。但是后面的真题以及模考题中的问题，非常不友好。所以我在图片部分做了分析过程。

《选择性必修三》P81

《选择性必修三》P91

分析清楚事件的过程后，发现个问题。就是马尔科夫链从前往后递推比较复杂，从后往前递推，可以找到第n+1次与第n次的关系。列出概率关系式后，就到了高二下所学的“数列构造等比”的环节了。

马尔科夫链里涉及到的“数列构造等比”，都是比较简单的“常数型”构造。

接下来我们由浅入深的看几道例题。

此题蚂蚁在哪个点不是重点，在上面还是下面是问题核心。

所以分析第n-1次的时候，分类本次是在上面，还是下面。因为上面和下面所选择下一步的路径概率是不一样的。

两人投掷骰子问题

此题务必从第n次（或者n+1次）开始分析。由于此题情景中就甲乙两人，并且“甲掷”还是“乙掷”为互斥事件，比较好分析，详细分析见上图。

和被3整除余数问题

马尔科夫链问题的本质就是，本次事情发生的概率，受上次事情的影响。所以分析的上一次会发生什么情况，进行分类。而每一类发生的情况又是相互独立的。

此题给出的情况比较少，所以比较好分析，余数是几，是初中概念。

这里额外重点强调一下，负数的余数不可以想当然，余数必须是自然数。

比如“-1除以3”余数是几？思考一下。

2023年佛山二模

此题答案给的贝叶斯公式（全概率），掌握熟练的同学问题不大。

但是在应用公式之前，我还是想把事件分析过程写明白。看下右边手写部分，你会发现，其实把事儿分析明白，答案也就出来了。

2024年武汉9调

此题手写部分，将前三次的情况进行分析，确实复杂，再往后分析会出现指数型增长的分类情况。从后往前进行分析比较简单。

此题细节：三个人其实就是三个变量，需设球在每个人手中的概率分别为P、Q、R。过程见详解。

也是传球问题，同上一题题干很像，但是分析后区别很大，建议这两道题对比着做。（这个题比上一题简单。）

2023年济南市开学考试

此题我给出两个方法，一个是小题的做法，数学归纳法，直白点就是找规律。但是找规律不可以做为大题的书写过程，所以下面手写部分给出了详细分析。

此题有趣的地方就是，甲第n次获胜与不获胜的概率之和不为1，也就是不是互斥事情。这里我拿第二次举例，进行详细说明原因。这个分析过程不可以跳过，务必把事儿分析明白，做题才有收获和意义。

2020年湖北武汉质量监测

此题一问为二项分布，对比下一道题的超几何分布。

二问比较简单，情况就两种，从后往前分析，答案过程写的比较清楚。

2020年江苏

此题一问为超几何分布。二问需设两个概率变量。二问构造等比环节看题干问法，要求是

{2Pn+Qn}的通项公式。

马尔科夫链做为今年的热点问题，最重要的原因就是高考数学由22道题改成19道题，解答题由原来的6道，改成现在的5道。以往每个解答题独立性比较强，数列就是数列，概率就是概率，立体几何就是立体几何。

而改革后，你会发现解答题中，解析几何中会出现立体几何的问题、数列题中会出现函数的“不动点和稳定点”的问题等，各个知识点相互关联，知识网更加密集。

解答题数量变少，考点没减少，就得在一道题里挤一挤。

所以概率统计的解答题中出现“数列的构造等比”递推问题，就正常了。

帕普斯 《数学汇编》、“丹迪林双球”、牛顿“切线”法、阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中的问题、杨辉的《详解九章算法》引题等，近期也更多的出现在2024年2月以后的各省市模考卷上。

还有两个月高考，同学们不用抱怨，也千万不要抱怨。兵来将挡，水来土掩。出新题，咱就解决新题，从分析题型入手，再到反法和步骤熟练。

以上“马尔科夫链”的题，你按着我手写部分，详细分析和理解，再独立完成一下，基本可以过关了。