基于提高机器人末端控制精度的目的，本文围绕基于模型的工业机器人误差参数标定技术，总结了其应用在高精度机械加工制造领域时存在的误差参数不完整、标定成本高和标定精度不满足工业需求等关键问题。

另外，综述了误差参数标定模型建模方法、机器人末端位姿测量技术、误差参数辨识技术和误差补偿技术4个方面的进展，分析了处理复杂标定任务时基于模型的误差参数模型标定技术的主要难点并进行总结，针对传统建模方法遇到的多个难题，提出了可行性解决方案及发展方向。

在电机技术、计算机技术、控制技术、数字化技术的推动下，工业机器人自1959年面世以来历经60余年的发展，由单机生产发展到由多机协同联动控制的机器人生产线，并成为现代智能制造的核心技术，被广泛应用于焊接、搬运、装配等领域。

同时，专用精密机床环境适应性差、加工模式固定、加工周期长等缺陷，无法满足现代工业装配精度高、型号多变、研制周期短的加工要求，而工业机器人凭借其重复定位精度高、任务柔性高、制造和维护成本较低等优势，可有效地弥补机床加工的缺陷，为大型复杂零件的加工提供了新思路。

国内外对工业机器人的研究广泛，并逐步向控制精度要求更高的机械加工领域发展，但工业机器人自身绝对定位精度不足、刚度低等问题限制了其推广和应用。为进一步提高机器人末端的控制精度，常采用机器人误差参数标定技术。其中，基于模型的误差参数标定技术由于其普适性好、能够更好地根据不同标定要求进行修改而得到广泛应用。

基于模型的误差参数标定技术的主要问题

误差参数标定模型的模型复杂度和精度

对于误差参数标定模型，有完整性（能充分反映各类参数误差对末端位姿误差的影响）、连续性（参数变化是连续的，不存在参数奇异问题）和无冗余性（误差参数之间相互独立）3点要求。

针对几何误差参数的标定模型主要通过运动学模型的微分得到，无法满足连续性和无冗余性要求；针对非几何参数的辨识模型通过动力学方程的线性化对机器人惯性参数进行辨识，无法满足完整性要求。

机器人末端位姿测量技术的测量成本和效率

尽管商用测量仪器能够取得较为准确的机器人末端位姿误差信息，但对操作人员和环境要求较高，测量成本高昂，使其无法在工业现场得到广泛应用。此外，测量信号存在噪声干扰，降低了测量结果的可信度。

参数辨识技术的辨识效率和局部最优

以最小二乘法（L-S）为代表的线性参数辨识方法在应用于辨识矩阵奇异或存在冗余参数时，无法得到满意的辨识精度；而以智能算法为代表的非线性优化方法则较为复杂，存在对计算初值敏感、可能陷入局部最优等问题。

此外，参数整体辨识策略使得辨识过程复杂且收敛较慢，无法满足工业标定上快速、准确的辨识需求。

误差补偿技术的残余误差和补偿实时性

通过关节空间或操作空间的误差补偿方法必然会改变机器人的构型，产生新的残余误差。而对于复杂的加工环境而言，机器人末端的误差补偿需要满足实时性，因此对补偿算法的效率和计算复杂度有更高的要求。

误差参数标定模型建模

几何参数标定模型建模

由机器人构件的加工、装配、磨损导致的几何误差参数，是轻载工况下工业机器人的主要误差源。对于几何误差参数，主要是建立误差参数标定模型，即确定几何误差参数与机器人末端位姿误差之间的映射关系，因此选择合适的机器人运动学建模法是误差参数建模的首要任务。

1）D-H模型法因其结构简洁、无冗余参数、易于理解的特点，被广泛应用于机器人运动学控制系统中。但当相邻关节轴线接近平行（M-DH模型则为垂直）时，关节轴线的任意微小姿态变化都会导致误差模型中参数突变，不满足标定模型的连续性要求。研究人员为此提出的方法都依赖严格的局部坐标系建立规则，不满足标定模型的完整性要求。

2）S模型法是在D-H模型局部坐标系的基础上建立的，通过增加沿关节轴线移动的直线坐标参数和绕关节轴线旋转的角度坐标参数描述机器人构件在空间的6个自由度。该方法弥补了D-H模型法系统的多个缺陷，但也引入了D-H模型法的建模方式，导致模型参数的不连续问题仍然存在，而新引入的参数也使模型不满足无冗余性参数的要求。

3）CPC模型法中引入新的非奇异空间直线表征方法，可满足标定模型的连续性要求，可实现任意设定机器人末端坐标系。此外，CPC模型法中的冗余参数可在标定过程中消除。

但该方法将关节轴线方向向量作为标定参数，当机器人工具坐标系轴线与最末关节轴线垂直时，仍存在参数奇异性问题。基于此，Modified-CPC（MCPC）模型法通过2个角度参数代替关节轴线方向向量，满足标定模型的3点要求，并可通过相应变换避免奇异性问题。

4）Mooring等借助Rodrigues公式和关节变量表征不同坐标系之间的相对位姿关系，提出了满足完整性和连续性要求的零位基准法。在此基础上，Okamura等利用李代数的指数积公式易于微分求导的特点，建立了将结构零位误差参数和转角误差参数相区分的指数积（POE）模型法。

该方法通过关节旋量、关节角度、零位旋量坐标描述机器人末端相对于机器人基坐标系的位姿关系，并微分化得到误差参数标定模型，具有参数完备、表达简洁、物理意义清晰的特点。但模型存在微分隐式形式复杂、运动旋量单位正交化产生冗余参数等问题，限制了其广泛应用。

非几何参数辨识模型建模

对于非几何参数，主要是建立参数辨识模型，即确定关节角位移、角速度、角加速度与关节力、末端负载之间的映射关系。

1）针对惯性参数的建模

忽略摩擦的机器人刚体动力学特性是其惯性参数的线性函数，可通过机器人刚体动力学方程的线性化获得惯性参数辨识模型，并用测量得到的关节力矩、角位移、角速度、角加速度线性估计得到实际连杆惯性参数。常用机器人刚体动力学的建模方法有拉格朗日法、牛顿-欧拉法、凯恩方法、高斯法、虚功原理等。

此外，随着工业机器人末端负载与机器人自重的比值趋于1，末端负载不能再视为最末连杆的一部分，相关研究者针对末端负载参数进行独立建模分析。

2）针对关节摩擦力矩的参数建模

针对机器人关节摩擦力矩的模型主要有基于摩擦机理的数学模型和基于数据库的经验模型。基于摩擦机理的数学模型有经典静态摩擦模型、Stribeck摩擦模型、LuGre动态模型等；基于数据库的经验模型则以Daemi-Heimann摩擦模型为代表。

3）针对机器人结构刚度参数的建模

相对于机器人的柔性杆，机器人柔性关节对末端控制精度的影响更大，相关研究通常采用Spong模型对柔性关节进行简化描述。而完善的柔性关节模型过于复杂而不利于线性化，因此当前较少应用在动力学参数辨识建模中。

由于柔性系统的动力学模型是非线性、时变和强耦合的偏微分方程，通常不易得到精确的解析解，研究者通过离散方法将柔性系统的偏微分方程转化为常微分方程近似求解，主要方法有假设模态法、有限段法、有限元法和集中质量法等。

机器人末端位姿测量技术

当前技术主要以降低测量的系统误差、提高测量信号的抗噪性为目标，此外还有易操作、低成本等要求。

测量仪器

当前国内外应用于机器人标定上的测量方式主要有开环法和闭环法。

开环法是通过高精度外部测量仪器测量机器人末端安装的靶目标，获得其在测量系统坐标系中的位姿，再变换坐标系得到机器人参数标定所需信息。常用测量仪器主要包括激光测量仪、三坐标测量机、激光扫描仪、LaserLAB、DynaCal、球杆仪等。

开环法测量能取得较好的参数标定结果，但测量仪器通常存在价格昂贵、对操作人员和测量环境要求高等问题，无法在工业生产中推广应用。

闭环法（即自标定技术）不依赖于外部测量仪器，通过冗余传感器或物理约束获取参数标定所需信息，具有低成本、易操作的优势。其根据测量形式大致可分为非接触式测量和接触式测量。

非接触式自标定方案主要是通过激光传感器、摄像机等测量仪器测量机器人末端与传感器之间的距离信息。这类技术存在测量范围和测量精度的矛盾，同时环境因素对测量结果也有影响。

基于激光传感器的机器人测量装置

（a）点约束测量

（b）距离约束测量

基于机械视觉的测量方法

基于接触式传感器的自标定方案则主要通过机器人末端与接触式传感器的物理约束获取已知接触式传感器相对于机器人的实际空间位置。传感器精度、结构设计和装配精度会影响测量机构的精度。

基于双球约束的便携式测量装置

基于拉线传感器的测量方案原理

测量信号的优化方法

为了用更少地测量位型组获得抗噪能力更强、全局表征性更好的测量结果，通常需要对测量信号进行优化筛选和处理。

对于几何误差参数标定，主要通过测量位型优选来优化测量信号，指标有条件数、可观测指标，以及用于综合指标优化的辅助指标。在确定了优化指标后，测量位型的优选则本质上是非线性优化问题。

对于非几何参数辨识，测量位型优化问题则转化为连续的激励轨迹优化问题。合理的激励轨迹可以充分对动力学参数进行激励，并提高测量信号的抗噪性。

为了降低测量噪声对测量结果的影响，常用的降噪方法就是重复测量取平均值。而针对机器人关节电机中驱动器中的高频谐波产生的测量误差，研究人员也提出了不同的矫正方法。

误差参数辨识技术

将测量数据导入到误差参数标定模型进行数值分析或优化方法进行求解得到误差参数的过程即为误差参数辨识。

对于线性方程参数的辨识，L-S算法因其迭代过程简单、收敛速度快、计算过程中可忽略系统扰动因素影响而被广泛应用。但当辨识矩阵奇异或存在冗余参数时，L-S算法无法取得准确的辨识值，因此研究者通过引入阻尼系数，提出L-M算法。该方法解决了L-S算法的奇异性问题，但增加了额外参数导致计算量较大，且应用到高阶非线性方程时，辨识矩阵奇异会导致算法不收敛。

另一种常用辨识算法是卡尔曼滤波算法，该方法基于协方差对每个迭代值进行最优估计，具有计算简单、有效防止噪声影响的优点。扩展卡尔曼滤波算法则在最优点附近进行泰勒级数展开从而将非线性方程转化为线性方程进行参数辨识。

针对辨识算法的研究虽然可以提高辨识效率和准确性，但主要采用整体辨识法的辨识策略，没有考虑具体参数的变化特性和不同参数影响之间的耦合干扰。针对这一问题，研究人员也提出了不同的参数辨识策略进行改进。

基于模型的误差补偿技术

在得到准确的控制模型参数后，尚需进一步通过误差补偿算法修正参数误差所带来的影响。基于模型的误差补偿主要可分为离线误差预测补偿和在线误差测量补偿。

离线误差预测补偿通过修正的控制模型预测机器人末端到达理论值时实际产生的位姿误差，并在关节空间或笛卡尔空间内进行前馈补偿来实现，关键在于控制模型的准确程度。

在线误差测量补偿通过实时测量机器人末端力、位姿等数据计算当前的补偿量来实现误差补偿，主要包括通过测量机器人末端的实际位姿获取实时位姿误差进行补偿的全闭环补偿技术，以及通过测量机器人关节角度的实际转角进行误差补偿的半闭环补偿技术。

结 论

针对基于模型的机器人误差参数标定技术，国内外相关研究主要从误差参数标定模型的建模方法、末端位姿的测量技术、参数辨识技术和误差补偿技术4个方面展开研究，有效提高了误差参数的标定精度和效率，提高了机器人末端的位姿控制精度。

在近年国内外研究成果基础上，当前该领域存在的问题及其可行性解决方案如下。

1）考虑工业标定精度需求，从标定模型的3个基本要求出发，解决现有DH模型法在奇异位型处的连续性问题；针对MCPC模型、POE模型进行深入研究，设计更加简便的冗余参数筛选方法，完善相应的开发环境，建立其与DH模型间的转换方法，设计高效的运动学、动力学逆解算法以及机器人控制系统。

合理选择非几何参数辨识模型的复杂度、设计更简洁高效的建模方法、多种建模方法有效结合、模型中冗余参数的判别和去除方法、非线性模型的线性化方法等都有利于提高非几何参数的辨识精度和可辨识性，这些需要进一步研究。

2）针对当前自标定技术存在的问题，以降低测量噪声和提高测量精度为目标，优化现有测量机构，结合多种测量方式，设计新型测量机构。同时结合优化指标与标定精度需求，改进现有测量位型的优化指标和优选算法、优化激励轨迹和筛选过程，设计更有效的噪声滤波方法，提高测量信号的准确性。

3）考虑辨识参数的空间分布特性和辨识矩阵的奇异性，优化现有线性辨识算法，提高收敛速度；在避免陷入局部最优的前提下，改进现有智能算法、多种智能算法的结合以提高算法的收敛速度和准确性。同时，根据加工子空间内辨识参数特性设计高效的辨识策略。

4）考虑到误差补偿的实时性和准确性，多种补偿方法结合，改进现有误差补偿算法，设计分步补偿算法，能有效地提高误差补偿的准确度和实时性。

论文作者：崔正杰，刘厚才，康辉民，左国才，胡胜巧，刘志诚

作者简介：崔正杰，湖南科技大学机电工程学院，硕士研究生，研究方向为铣削机器人；康辉民（通信作者），湖南科技大学机电工程学院，教授，研究方向为磁悬浮轴承技术、机器人技术、数字化与智能制造技术；左国才（共同通信作者），湖南软件职业技术大学，教授，研究方向为机器视觉、深度学习。

论文全文发表于《科技导报》2022年第13期，原标题为《基于模型的工业机器人误差参数标定技术研究进展》

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