pythondef numJumps(stones, k):    n = len(stones)    dp = [0] * (n + 1)  # dp[0] 不用，故预留    dp[1] = 0  # 青蛙从第一块石头出发，此时跳跃次数为0    for i in range(2, n + 1):        dp[i] = float('inf')        for j in range(1, i):            if stones[i] - stones[j] <= k:                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + 1)    return dp[-1]# 示例stones = [0, 1, 3, 5, 6, 8, 12, 17]k = 3print(numJumps(stones, k))  # 输出：3

## 总结与拓展

通过以上详细解析和代码实践，我们成功运用了动态规划解决了“青蛙过河II”的问题。值得注意的是，动态规划的核心在于状态定义和状态转移方程的设计，理解并熟练掌握这两点，可以让我们在面对更多复杂的优化问题时，灵活应用这一强大的算法工具。

同时，此问题还存在空间优化的可能性，例如使用滚动数组或记忆化搜索等方法降低空间复杂度。在实际编程过程中，我们应根据具体场景权衡时间与空间效率，选择最合适的解决方案。

### 持续学习与探索

本文仅为动态规划在“青蛙过河II”问题上的初步应用，实际编程领域中的动态规划问题千变万化，如背包问题、最长公共子序列、编辑距离等等。持续挖掘这类问题背后的算法思想，不断提升自己的编程能力与算法素养，是我们作为开发者不断追求的目标。未来，我将持续在头条号分享更多有关后端编程、算法实战以及动态规划的深度内容，敬请期待！