全文包括：

SEM简介：功能、优点、缺点分析软件简介统计知识回顾：矩阵标量向量、多元回归分析、估计方法SEM的六大步骤路径追踪规则（Path tracing rules)R codes一、SEM简介强大的功能：

融合了因子分析(Factor Analysis)、方差分析(如ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA)、多重回归(multiple regression)等：

可以分析有多个因变量的模型(multiple dependent variables)可以分析复杂的中介模型(complex mediating mechanisms)可以估算潜在变量以解释测量误差(estimate latent variables)可以估算二分变量(binary) /序级变量(ordinal)的潜在因子可以测试跨组的模型不变性（test invariance of models across groups)可以建模重复测量的数据的发展轨迹(growth trajectories of repeated measures)不胜枚举的优点们：可以一次性完成对一个复杂模型的分析，而不用将模型拆分适用于各种数据（不同分布的数据-非正态分布，不同类型的数据-非连续数据）对长期数据，可以测试个体的稳定性以及不足：建了个太太太复杂的模型，以致于啥都说明不了（比如把各种变量一股脑塞进模型，偏离了理论）—— 所以在建模specification/re-specification时，一定要明确自己在做什么，让模型保持精简。难以判断模型是否正好拟合（fit）数据 —— 要依据理论再参考一些fit index，将模型不断优化，在过度适合和适合不足中找到平衡点。可能有不同模型恰好一样地拟合数据没有明确参考标准来确定合适的样本大小——……样本量越大越好和其他分析一样，SEM无法修正由于取样或测量导致的误差——好好设计和实施实验让数据质量高一些哲学盲点：SEM使用”证据的缺失(absent of evidence)作为支持假设模型的证据 —— 没有证据证明其存在可以证明其不存吗？（例一：研制新药，如果没有证据显示新药有疗效,是不是就能说明新药没有疗效了呢？例二：寻找某物种，如果找不到这个物种的生物，是不是就说明该物种已经灭绝了饿呢？）二、应用软件

常用软件：Amos（绘制路径图，简易模型分析，想发表文章的话还是用后两个分析吧）、Mplus（代码简洁好上手）、R（一般用lavaan package，还有别的包可以用比如semTools有一些补充功能比如求测量不变性 measurementInvariance()，semplot/lavaanplot可以用来绘图，还有openMX、sem等）。

除此以外，还有Python（学好编程啥问题都能解决）、LISREL（输入input是矩阵而非原数据！Coursera上有港中文大学Kit Tai Hau 侯傑泰教授的免费公开课程“Structural Equation Model and its Applications | 结构方程模型及其应用 (普通话/粤语)）、EQS（多变量分析软件）、SPSS（也得自己码代码syntax，点点点鼠标是点不出来这些比较高级的功能的）。

三、统计知识回顾矩阵代数（Matrix Algebra)

标量（scalars）：实数，只有大小，没有方向。

*a是一个标量，b也是一个标量。

矩阵（matrix）：双序排列的标量，行（rows）+列（columns）。

*表示矩阵的字母一般大写、加粗。

矩阵排序：下标前面的数字代表行i，后面的数字代表列j，记作aij。

矩阵转置（Transpose）：把矩阵A（r×c）的行和列互相交换，得到矩阵A’（c×r）。

对称矩阵（Symmetric Matrices）：A = A’。

对角矩阵（diagonal matrix）：特殊的对称矩阵，主对角线之外的元素皆为0的矩阵。

单位矩阵（Identity Matrix）：特殊的对角矩阵，主对角线为1，主对角线之外的元素皆为0的矩阵。

向量（Vector）：仅有一列/一行的矩阵。

*代表向量的字母一般小写加粗。

矩阵的加减乘除（我省略了）

但要注意的是，

计算标量时，ab=ba，计算矩阵时，ab ≠ ba因为乘法要考虑顺序。实际上没有矩阵除法，通过乘以逆矩阵（A-1）完成。

行列式（Determinant）

矩阵S的行列式记作|S|仅正方形的矩阵可以求行列式，比如相关性、协变量矩阵。行列式为0的矩阵不可逆（inverted），这样的矩阵是非正定矩阵（non-positive definite, NPD),而SEM计算中通常需要求逆矩阵，所以行列式为0的矩阵为导致运行错误（例如“psi matrix is not positive definite” ）多元回归分析（Multiple Regression)回归分析（regression）可以看作是SEM的一种形式。广泛应用于社会、行为、健康科学中的强大、灵活的分析方法。因变量需要时正态分布的连续数据，对自变量没要求。可以分析交互作用、中介作用等。估计方法

最小二乘估计(Least Squares Estimation， LSE)

选择可以最小化残差的平方和（sum of squared residuals)的参数

最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation， MLE）

频率学派（Frequentist）的点估计法，根据样本数据不断尝试，选出能最优描述实际概率分布（likelihood）的参数。

最大后验估计（Maximum A Posteriori Estimate, MAP）

提到了频率学派，就插入一下贝叶斯学派(Bayesian)的最大后验估计MAP。MAP融合了预估计量的先验分布信息(Prior distribution)，对未观测点做估计，可以看作是正则化（regularized）的最大似然估计。

四、SEM操作步骤1. Specification 明确模型

自变量（independent variable）是什么？因变量（dependent variable）是什么？有没有调节变量（mediator）？有没有中介变量（moderator）？变量间是什么关系（relationship）？

1.1 路径图（path diagram）

绘图比较好用易上手的软件：Amos (分析基于SPSS，要获得分析结果的话要同时下载SPSS）（Amos全名其实就是Analysis of moment structures)绘制正确的话，路径图完全可以表达（等同于）构建的方程式/模型优点：可视化模型隐含的矩阵结构（model-implied moment structure） 【moment指的是变量组（sets of variables)的均值（mean）、方差（variances）、 协方差（covariances），就是均值矩阵/（协）方差矩阵】。

路径图中图形的含义

长方形/正方形：测量变量（measured variable）圆形：未测量变量（unmeasured variable), 如残差(residuals)、潜在变量(latent variables)单向直线箭头：回归方程的参数(regression coefficient)/因子分析的因子负荷(factor loadings)双向曲线箭头：方差(variance)/协方差(covariance)三角形：均值(mean)/截距(intercept)的常数(constant)。在分析模型时，统计软件会自动将一行常数设置成1。

1.2 矩阵结构（Moment Structures）

总体矩阵（Population moments） 记作Σ和μ样本矩阵（sample moments）记作S和 m总体隐含矩阵（Population model implied moments）记作Σ (θ) 和μ (θ)样本隐含矩阵（Sample model implied moments）记作 Σ (θ hat)和μ (θ hat)

如下图，以总体矩阵为例：对于单个因变量和q个自变量的回归模型，有一个总体的协方差矩阵Σ和总体均值向量μ。

2. Identification模型的辨识性

就像每个人都有个身份证号一样，一个模型需要具有辨识度。模型辨识度指的在有足够的已知信息来推断未知参数的程度。

Model identification refers to the extent to which there is sufficient known information to infer unknown values

过度识别（Over-identified）：模型包含了冗余信息，需要修改 ——未知参数个数<独立方程式个数（方程式有解,但没有唯一精确解）。

许多路径分析和几乎所有SEM模型存在这个问题。

正好识别（Just-identified）：观察到的信息 = 所需估计的参数数量 ——未知参数个数=独立方程式个数（方程式有唯一精确解）。

所有多元回归模型都是恰好识别。

识别不足（Under-identified）：观察到有用信息不足——未知参数个数>独立方程式个数(方程无解)。

大问题！无法得到有效结果，下面讲到的路径追踪规则（path tracing rules)对解决这个问题有用。

3. Estimate 模型参数估计

从样本数据中得到系数的过程。

3.1 最常用的是上述ML（最大似然法maximum likelihood），其具有3个特点:

a.无偏的：虽然每次都有抽样误差（sampling error）， 但无限次重复实验后，样本估值的平均值将等于总体的真实值

unbiased: if we were to repeat our study an infinite number of times, the mean of the sample estimates would equal the population value

b.一致性：当样本量无限接近于总人群量时，样本估值也无限接近群体值

consistent: as the sample size approaches infinity, the sample estimate approaches the population value

c.有效性:参数估值的误差最小

efficient: no other estimator has a smaller sampling error for the parameter estimate

3.2 两种方式：

a. 充分统计最大似然值估计（Sufficient-statistic maximum likelihood estimation，SSML)仅仅基于观测到的协方差矩阵和均值向量，前提是有完整数据 （complete-case data）和正态分布的因变量（normally distributed DVs）

b. 完全信息最大似然值估计（Full information maximum likelihood estimator，FIML) 基于任何从个体观察到的数据。允许部分缺失的数据（partially missing data）和用于处理非正态分布（non-normal distribution）和嵌套数据结构（ nested data structures）的替代方法

*对于完整的正态分布的数据，SSML 和FIML 一样。

3.3 优点：

适用于各种模型无偏、一致、最大化有效性。估值渐近正态分布(Estimates are asymptotically normally distributed),为推理测试（inference test)提供依据可以通过卡方检验比较不同模型的相对拟合度的优劣FIML适用于有缺失值和非正态分布的数据。

3.4 步骤

初始值（start value）：选择参数估计的初始值迭代（iteration）：计算似然值，更新参数估计值收敛（converge）：不断计算似然值，直到前后两个似然值之间的差异足够小为止从最后一步保留拟合值（Fit statistics）、参数估值（parameter estimates）和标准误差（standard errors ）

*如果模型太复杂有可能出现模型不收敛“failed to converge”的问题。

4. Evaluation 模型评估

模型拟合程度如何？根据模型拟合指数作判断（Model fit index）

5. Potential re-specification可能需要模型再明确

如果模型不够好，怎么修改？参考理论，根据修正指数（Modification indices）调整模型。

6. Interpretation 解读

哪个结果显著？结果是否有意义?

通常关注点在：

原始的参数估值（Raw parameter estimates）标准化的参数估值（Standardized parameter estimates）决定系数R2 , （explained variance in outcomes），即模型可解释的变异量五、路径追踪规则（Path Tracing Rules）:

Sewall Wright在 19世纪20年代和30年代发明。

1.一旦开始用了单项箭头，就不能再往回/用双向箭头了4 前进了不能再后退， 但可以先后退再前进

Rule 1: if you begin a trace forward from a variable using a singleheaded arrow, you can proceed forward any number of times; but once you start forward you may not move backwards or span a double-headed arrow

图片来源 p67 《結構方程模式理論與實務：圖解AMOS取向》作者: 李茂能

2.每一条路径，最多仅可涉及一个未分析到的相关系数（仅能通过双箭头部分一次）

Rule 2: If you begin a trace backward from a variable using a single headed arrow, you can proceed backward any number of times; upon reaching a variable, you can do one of two things:

a. span a double-headed arrow and stop

b. span a double-headed arrow and proceed the trace forward

图片来源 p68 《結構方程模式理論與實務：圖解AMOS取向》作者: 李茂能

3.一个变量只能被经过一次，无回路（no loop)

Rule 3: for each trace you can only pass through a variable once ； no loops are allowed

图片来源 p67 《結構方程模式理論與實務：圖解AMOS取向》作者: 李茂能

六、R code

#下载lavaan包

install.packages("lavaan", dependencies=TRUE)

#运行lavaan包

library(lavaan)

#建模：x是因，y是果

model <- ‘y ~ x’

#选择用sem分析模型，指定数据

fit <- sem(model, data = data)

#显示结果

summary(fit) #显示原始参数

summary(fit, standardized = TRUE) #显示标准化参数

summary(fit, std.nox = TRUE, rsquare = TRUE) #显示基于观测变量和潜在变量的标准化参数和R方

小结

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