导读：算法哥今天给大家分享一道《算法导论》里的介绍分治算法的经典题目，大家跟着我来一起学习吧！

给定平面上n个点，找出其中的一对点的距离，使得在这n个点的所有点对中，该距离为所有点对中最小的。

输入格式：

第一行：n；2≤n≤200000

接下来n行：每行两个实数：x y，表示一个点的行坐标和列坐标，中间用一个空格隔开。

输出格式：

仅一行，一个实数，表示最短距离，精确到小数点后面4位。

输入输出样例

输入样例#1：

31 11 22 2

输出样例#1：

1.0000

说明

0<=x,y<=10^9

题目分析

题目要求距离最近的两个点的距离，最朴素的做法就是直接两层循环，枚举所有的点对，计算距离，得出距离最小的，显然时间复杂度是O(n^2)的，数据规模n=200000，毫无疑问会超时的。

那怎么解决这个问题，根据《算法导论》里的介绍，我们可以分而治之，把平面上的点先按照横坐标排序，横坐标相同就按照纵坐标排序，然后从中间分开，假设我们已经求出左边的点集里的最近距离d1，右边点集的最近距离d2，令d = min(d1，d2)，那么最终要求的最近距离可能是d，也可能是一个点在左边，一个点在右边构成的点对所形成的距离！

见图：平面上有11个点，我们以红色的F点把平面上的点一分为二，假设F点本身属于左半部分，那么d1 = AB = 1，d2 = HI = 1，所以d = min(d1，d2) = 1

现在，我们已经知道左半部分最近距离d1，以及右半部分最近距离d2，那么所有点集的最短距离还有可能是一个点在左半边部分，一个点在右半部分，比如上图里的GL=0.6。那么我们怎么求出一个点在左边，一个点在右边的这种情况的最短的距离呢 ？首先，我们可以枚举左边的点和右边的点组成的点对，但是这样显然复杂度太高了，假设左边有n/2个点，右边有n/2个点，直接枚举所有点对要枚举n^2/4次！

那有什么其他办法可以想吗 ？有！既然我们已经知道左半部分和右半部分的最短距离d，那么是不是有可以利用这个距离d，做点事情？上面的例子d=1，我们是以红色的F点分割点集的，那么我们分别在F点左右两边，距离为d=1的地方，画两条绿色直线，如图：

显然，我们要找的点对，一个点在F点左边，一个点在F点右边，且这两个点必然落在两条绿色直线之间！因为一旦有一个点在两条绿线区间外，那他们的距离必然大于d！所以，我们此时只需要考察落在两条绿色直线范围内的点！上图中，我们只需要考察F，G，L 3个点即可！

我们考察F点，我们看PQKR形成的边长等于2d=2的正方形，显然，能够与F点形成距离小于d的点，必然在这个正方形内， 且落在这个正方形内的点，必然是不会超过16个的，因为我们可以把PQKR这个正方形，分割成16个边长为d/2=0.5小矩形（此时小矩形对角线长必然小于d），假设每个小矩形内有一个点，那么再放一个点进来，必然导致有两个点在同一个小矩形内，这样导致小矩形内的两个点的最远距离(对角线距离)必然小于d，与前面得到的点对同时位于左边，或者同时位于右边的最小的距离d矛盾了！所以PQKR矩形里最多不会超过16个点，也说明对于绿色区域内的点X，与点X形成最近距离有可能小于d的点一定小于16个，且必然落在绿色区域内，且这些点的纵坐标与X的纵坐标差值小于d。实际上，在编码时，我们把绿色区域内的点，按照纵坐标y来排序，从小到大，依次考察每个点X，我们只需要考察点X上方的点的纵坐标减去X点的纵坐标小于d的点。显然这些点不会超过8个。我们把绿色区域内的点扫描一遍，复杂度是O(n*8)=O(n)的，但是对绿色区域内纵坐标排序，直接快速排序是O(nlogn)的，有没有更好的方法呢 ？有！归并排序的思路，哈哈！直接O(n)合并左右区间内已经按照y坐标排好序的点即可！这个地方看起来有点抽象，结合源码可以理解！

上源码：

复杂度分析

最初按照横坐标和纵坐标来排序的复杂度是O(nlogn)的，然后，每次递归划分区间，区间划分的深度不会超过O(logn)，每一层归并复杂度是O(n)（归并只涉及合并两个有序的区间），所以总复杂度是O(nlogn)的。

题目总结

平面上最近点对，是《算法导论》里非常经典的一个题目，要理解这个题目有以下几个难点：

1：对递归有深刻的认识，这样才知道怎么把区间划分，怎么合并有序区间；

2：充分利用左右两边已知的最近距离d，来思考一个点在左边部分，一个点在右边部分的情况；

3：得出绿色区域内的点，只需要考察纵坐标差值在d范围内的点后，想到绿色区域里的点按照纵坐标排序，线性时间算出最小的d;

今天的题目你有收获吗 ？书读百遍其义自见，如果有不理解的，请在文章下面留言哦！