11层的莱布尼茨三角形

小学五年级下期数学作业（王朝霞的卷子）有一道关于单位分数的填空题，我们来看一下。（分子为1，分母为大于1的自然数的分数称为单位分数）

在算式1/2+1/4+1/6+1/8+1/10+1/12中，必须去掉（ ）和（ ）这两个分数，才能使余下的分数之和等于1。

这道题有两种解法。

第一种是具有野蛮暴力色彩的穷举法。

第二种是优雅的解法：用莱布尼茨三角形找答案。

先说第一种不动脑筋，只使蛮力的暴力破解法。

题目要求在6个单位分数中选择4个，使它们的和等于1。先看一下排列组合公式，再计算一下6选4等于6选2到底有多少种组合。（6选4和6选2相当于硬币的正面和反面）。

排列组合公式

由上图的组合计算公式可知，6选2共有15种组合，计算量不算大。把这15种组合都计算一遍，答案就出来了。

现在说重点了，我们用莱布尼茨三角形优雅地解题。

先说一个观点：过程比结果重要，方法比答案重要。所以我不会马上告诉你答案，那不重要。重要的是解题的步骤、过程、思路、方法、能力的培养和背后的数学思想和底层逻辑。请大家慢慢享受过程，最后我们会水到渠成地揭晓答案。

如何构造莱布尼茨三角形？

莱布尼茨三角形简介

莱布尼茨三角形是一种将单位分数以等腰三角形排列的一种排列方式，三角形二侧最外层的数字是其行编号的倒数，其中间的数字是其左侧数字和左上方数字差的绝对值。若用代数方式表示：

L(r, 1) = 1/r（r为行编号，最小编号为1）

L(r, c) = |L(r − 1, c − 1) − L(r, c − 1)|（c为列编号，不会大于r）

莱布尼茨三角形是数学家戈特弗里德·莱布尼茨在1714年提出。莱布尼茨三角形的前几列为：

见题图。

莱布尼茨三角形的分母列在（OEIS中的数列A003506）中，其分子均为1。

在杨辉三角形中，每一项都是其左上方和右上方数字的和．而在莱布尼茨三角形中，每一项都是其左下方和右下方数字的和，例如在第五行中的1/30是第六行二个1/60的和。

杨辉三角形可以用二项式系数来计算，而莱布尼茨三角形也可以用二项式系数来计算：

计算公式

而且可以用杨辉三角形中的项次来计算莱布尼茨三角形：「每一行的各项是第一项除以杨辉三角形中对应项次的结果」。

莱布尼茨三角形可以用来作为欧德斯猜想的例子。

若将莱布尼茨三角形中第n行的所有分母相加，其结果会是

n乘以2的n减1次方

例如第3行的分母和为3 + 6 + 3 = 12 = 3 × 2²。

特别是的莱布尼茨三角形中的各项可以用以下的积分式表示：

积分式

构造法

观察莱布尼茨三角形，可以看出构造的规律。

1.第一行有一个单位分数，第二行有2个单位分数，......第n行有n个单位分数。

2.等腰三角形在最外面的两侧是行号的倒数。“人”字由一撇一捺组成，按一撇的方向和从左到右的方向，三角形可划分为第一列、第二列......

3.三角形的第一列是全体自然数的倒数，三角形有无穷行和无穷列。

4.三角形的第二列各项的分母依次比首项分母大4、6、8、10、12......

5.每一行的第一项和最后一项是相同的。

6.每一行都是对称的。

7.第n行的第一项与第n+1行的第一项和第二项这三项构成了最小的三角形，它们之间的关系满足：a=b+c（a位于第n行，b和c位于第n+1行），类似位置关系的三项都满足a=b+c

8.第二列的单位分数之和为1，第三列的单位分数之和为1/2，第四列的单位分数之和为1/3，......

利用以上规律就可以构造出题图的莱布尼茨三角形了。

莱布尼茨三角形和杨辉三角形（贾宪三角形）有密切关系。二项系数可以排成杨辉三角形，杨辉三角形中的某一项等于它肩上的两项之和。而莱布尼茨三角形下层相邻两项之和等于它们头上那项（上层）。

杨辉三角形和莱布尼茨三角形的关系

就得到一个由单位分数组成的莱布尼茨三角形。

开始解题。

观察题图的三角形，容易看出四个单位分数之和为1：1/3可以分解为1/4和1/12。再加上1/6和1/2就等于1，于是答案就是:去掉1/8和1/10这两个分数。

观察三角形，我们发现1/2-1/3=1/6，1/3-1/4=1/12，于是总结出一条规律：两个分母为相邻自然数的单位分数相减等于这两个单位分数相乘。也就是说1/5-1/6=1/5 × 1/6=1/30

利用莱布尼茨三角形可以计算出某些由单位分数构成的无穷级数之和。

再看一道例题：

把1分解为10个分母不同且小于100的单位分数之和。

我的女儿Shirley的解答是：我可以把1分解为10个单位分数之和，但是有一个重复。即：

1=1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256+1/512+1/512

这个答案很漂亮，它的思路是将一张白纸分为两半，再不断对分。唯一的遗憾是有一个重复。1/256分解为两个单位分数之和，怎么分解呢？用上面发现的规律，马上就能分解：

1/256-1/257=？ 256×257=65792，所以1/256-1/257=1/65792

把Shirley的答案中的两个1/512替换为1/257和1/65792就是更好的答案。

出题老师的答案是：

现在解答例题。如果没有方法，硬凑答案很困难，但利用0的变形就很容易了。

巧妙利用0的变形解题

一加一减等于恢复原状，即加上0或减去0。用这个方法，不仅可以找出符合题意的10个分数，找7个也行，找13个也可以。而且计算也很简单，因为分母为相邻自然数的埃及分数做减法等于做分数乘法。分数乘法比分数加减法容易多了。

这个题目用莱布尼茨三角形也能解答，请大家尝试。

莱布尼茨简介

莱布尼茨

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（-{Gottfried Wilhelm Leibniz}-，1646年7月1日－1716年11月14日），德意志哲学家、数学家，历史上少见的通才，被誉为十七世纪的亚里士多德。他本人是一名律师，经常往返于各大城镇，他许多的公式都是在颠簸的马车上完成的，他也自称具有男爵的贵族身份。

莱布尼茨在数学史和哲学史上都占有重要地位。在数学上，他和牛顿先后独立发明了微积分，而且他所使用的微积分的数学符号被更广泛的使用，莱布尼茨所发明的符号被普遍认为更综合，适用范围更加广泛。莱布尼茨还对二进制的发展做出了贡献。

在哲学上，莱布尼茨的乐观主义最为著名；他认为，“我们的宇宙，在某种意义上是上帝所创造的最好的一个”。他和笛卡尔、巴鲁赫·斯宾诺莎被认为是十七世纪三位最伟大的理性主义哲学家。莱布尼茨在哲学方面的工作在预见了现代逻辑学和分析哲学诞生的同时，也显然深受经院哲学传统的影响，更多地应用第一性原理或先验定义，而不是实验证据来推导以得到结论。

莱布尼茨对物理学和技术的发展也做出了重大贡献，并且提出了一些后来涉及广泛——包括生物学、医学、地质学、概率论、心理学、语言学和信息科学——的概念。莱布尼茨在政治学、法学、伦理学、神学、哲学、历史学、语言学诸多方向都留下了著作。

莱布尼茨对如此繁多的学科方向的贡献分散在各种学术期刊、成千上万封信件、和未发表的手稿中，其中约四成为拉丁文、约三成为法文、约一成五为德文。截止至2010年，莱布尼茨的所有作品还没有收集完全。2007年，戈特弗里德·威廉·莱布尼茨图书馆暨下萨克森州州立图书馆的莱布尼茨手稿藏品被收入联合国教科文组织编写的世界记忆项目。

由于莱布尼茨曾在汉诺威生活和工作了近四十年，并且在汉诺威去世，为了纪念他和他的学术成就，2006年7月1日，也就是莱布尼茨360周年诞辰之际，汉诺威大学正式改名为汉诺威莱布尼茨大学。

科学尚未普及，媒体还需努力。关系阅读，再见。