y=ln(1x^2+2x+1)的导数计算

主要内容：

通过对数函数导数公式、导数定义以及函数乘积和函数商的求导法则，介绍y=ln(1x^2+2x+1)的一阶、二阶和三阶导数的主要计算步骤。

一阶导数：※.对数导数计算

∵y=ln(1x^2+2x+1),

∴dy/dx=(1x^2+2x+1)'/(1x^2+2x+1)

=(2x+2)/(1x^2+2x+1)

=2/(x+1)。

※.导数定义法计算

∵y=ln(1x^2+2x+1),

∴dy/dx

=lim(t→0){ln[1(x+t)^2+2(x+t)+1]-ln(1x^2+2x+1)}/t,

=lim(t→0)ln{[1(x+t)^2+2(x+t)+1]/(1x^2+2x+1)}/t,

=lim(t→0)ln[(1x^2+2x+1+2xt+1t^2+2t)/(1x^2+2x+1)]/t,

=lim(t→0)ln{1+[(2xt+1t^2+2t)/(1x^2+2x+1)]^(1/t),

=lim(t→0){ln[1+[(2xt+1t^2+2t)/(1x^2+2x+1)]^[(1x^2+2x+1)/(2xt+1t^2+2t)]}^[(2xt+1t^2+2t)/(1x^2+2x+1)t],

=lne^lim(t→0)[(2xt+1t^2+2t)/(1x^2+2x+1)t],

=lim(t→0)[(2x+1t+2)/(1x^2+2x+1)]

=(2x+2)/(1x^2+2x+1)。

=2/(x+1).

二阶导数计算※.函数商的求导

∵dy/dx=2/(x+1)，

∴d^2y/dx^2=-2(x+1)'/(x+1)^2,

=-2/(x+1)^2,

※.函数乘积的求导

∵y'=2/(x+1)

∴(x+1)y'=2,两边同时对x求导，有：

y'+(x+1)y''=0,

将y'代入上式得：

2/(x+1)+(x+1)y''=0,

(x+1)y''=-2/(x+1),

y''=-2/(x+1)^2。

三阶导数计算：

∵d^2y/dx^2=-2/(x+1)^2，

∴d^3y/dx^3=-2*2(x+1)/(x+1)^4

=-4/(x+1)^3.