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农历十一月十一日 2023/12/ 24

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每日一练

/ Daily Exercises

题目：

给定一个无序的数组，找出数组在排序之后，相邻元素之间最大的差值，如果给出数组元素个数小于2，则返回0

题目分析

这个题目的难点在于如何在不实际排序数组的情况下，快速地找出最大的差值。如果我们直接对数组进行排序，那么时间复杂度至少是 ( log⁡)O(nlogn)，其中 n是数组的长度。这样的算法可能会超时，或者浪费不必要的时间。

我们可以利用一个数学的性质，即抽屉原理，来简化这个问题。抽屉原理的一个简单的表述是：如果有n+1个苹果放在 n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两个或以上的苹果。换句话说，如果有多于抽屉数量的物品，那么必然有一个抽屉里有多于一个的物品。

那么，这个性质和我们的题目有什么关系呢？

我们可以把数组的元素看作是苹果，把一些区间看作是抽屉。

具体地，我们先找出数组中的最大值和最小值，然后将它们之间的区间分成 n−1个等长的子区间，每个子区间就是一个抽屉。然后，我们遍历数组，把每个元素放到对应的子区间里，也就是对应的抽屉里。这样，我们就可以得到一个分布情况，有些抽屉里有多个元素，有些抽屉里没有元素，有些抽屉里只有一个元素。

根据抽屉原理，我们可以知道，如果有一个抽屉里没有元素，那么必然有另一个抽屉里有两个或以上的元素。这意味着，如果我们从左到右扫描这些抽屉，那么每当我们遇到一个空抽屉，我们就可以确定，这个空抽屉的左边的抽屉里有元素，而且这个元素是这个抽屉里的最大值；这个空抽屉的右边的抽屉里也有元素，而且这个元素是这个抽屉里的最小值。那么，这两个元素之间的差值，就是一个候选的最大差值。我们只需要记录下这些候选的最大差值，然后从中选出最大的一个，就是我们要求的答案。

这个算法的时间复杂度是 O(n)，因为我们只需要遍历一次数组，然后扫描一次抽屉。空间复杂度也是 O(n)，因为我们需要存储每个抽屉的最大值和最小值。

程序展示

根据上面的分析，我们可以用C语言来实现这个算法。我们首先定义一个结构体，用来表示每个抽屉的信息，包括是否有元素，最大值和最小值。然后，我们定义一个函数，用来计算给定数组的最大差值。函数的主要步骤如下：

1、初始化一个长度为n−1的结构体数组，用来表示n−1个抽屉，每个抽屉的信息都设为初始值，即没有元素，最大值和最小值都为0。2、遍历数组，找出最大值和最小值，以及每个元素对应的抽屉的下标。把每个元素放到对应的抽屉里，更新抽屉的信息，即是否有元素，最大值和最小值。3、扫描抽屉，记录下每个空抽屉的左右两边的元素的差值，作为候选的最大差值。从中选出最大的一个，作为最终的答案。4、如果数组的长度小于2，或者最大值和最小值相等，那么返回0，表示没有差值。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>#include <time.h>// 定义一个结构体，用来表示每个抽屉的信息typedef struct bucket {    int has_element; // 是否有元素    int max; // 最大值    int min; // 最小值} bucket;// 定义一个函数，用来比较两个整数的大小，用于排序int compare(const void* a, const void* b) {    return *(int*)a - *(int*)b;}// 定义一个函数，用来生成一个长度为n的随机数组，返回数组的指针int* generate_random_array(int n) {    int* arr = (int*)malloc(sizeof(int) * n); // 分配内存空间    for (int i = 0; i < n; i++)   {        arr[i] = rand() % 100; // 生成0到99之间的随机整数    }    return arr;}// 定义一个函数，用来打印一个数组，方便查看void print_array(int* arr, int n) {    printf("[");    for (int i = 0; i < n; i++)   {        printf("%d", arr[i]);        if (i < n - 1) printf(", ");    }    printf("]\n");}// 定义一个函数，用来计算给定数组的最大差值int max_gap(int* arr, int n) {    // 如果数组的长度小于2，或者数组中的元素都相等，那么返回0    if (n < 2) return 0;    int max = arr[0], min = arr[0];    for (int i = 1; i < n; i++)   {        if (arr[i] > max) max = arr[i];        if (arr[i] < min) min = arr[i];    }    if (max == min) return 0;    // 初始化一个长度为n-1的结构体数组，用来表示n-1个抽屉    bucket* buckets = (bucket*)malloc(sizeof(bucket) * (n - 1));    for (int j = 0; j < n - 1; j++)   {        buckets[j].has_element = 0;        buckets[j].max = 0;        buckets[j].min = 0;    }    // 遍历数组，找出每个元素对应的抽屉的下标，把元素放到对应的抽屉里，更新抽屉的信息    int gap = max - min; // 数组的最大值和最小值的差值    int bucket_size = gap / (n - 1); // 每个抽屉的大小    if (bucket_size == 0) bucket_size = 1; // 防止除数为0的情况    for (int k = 0; k < n; k++)   {        int index = (arr[k] - min) / bucket_size; // 计算元素对应的抽屉的下标        if (index >= n - 1) index = n - 2; // 防止下标越界的情况        if (buckets[index].has_element == 0)     { // 如果抽屉里没有元素，那么把元素设为最大值和最小值            buckets[index].has_element = 1;            buckets[index].max = arr[k];            buckets[index].min = arr[k];        }     else     { // 如果抽屉里有元素，那么更新最大值和最小值            if (arr[k] > buckets[index].max) buckets[index].max = arr[k];            if (arr[k] < buckets[index].min) buckets[index].min = arr[k];        }    }    // 扫描抽屉，记录下每个空抽屉的左右两边的元素的差值，作为候选的最大差值    int max_gap = 0; // 最大差值    int prev = min; // 前一个非空抽屉的最大值，初始为数组的最小值    for (int m = 0; m < n - 1; m++)   {        if (buckets[m].has_element == 0) continue; // 如果抽屉为空，跳过        int curr = buckets[m].min; // 当前非空抽屉的最小值        int curr_gap = curr - prev; // 当前差值        if (curr_gap > max_gap) max_gap = curr_gap; // 更新最大差值        prev = buckets[m].max; // 更新前一个非空抽屉的最大值  }  // 释放内存空间  free(buckets);  // 返回最大差值  return max_gap;}// 定义一个函数，用来测试我们的函数是否正确void test(int n) {    // 生成一个长度为n的随机数组    int* arr = generate_random_array(n);    // 打印数组    printf("The original array is: ");    print_array(arr, n);    // 对数组进行排序    qsort(arr, n, sizeof(int), compare);    // 打印排序后的数组    printf("The sorted array is: ");    print_array(arr, n);    // 计算相邻元素之间的最大差值，作为期望的答案    int expected = 0;    for (int i = 1; i < n; i++)   {        int curr = arr[i] - arr[i - 1];        if (curr > expected) expected = curr;    }    // 调用我们的函数，计算数组的最大差值，作为实际的答案    int actual = max_gap(arr, n);    // 比较期望的答案和实际的答案是否相等    printf("The expected answer is: %d\n", expected);    printf("The actual answer is: %d\n", actual);    if (expected == actual)   {        printf("Correct!\n");    }   else   {        printf("Wrong!\n");    }    // 释放内存空间    free(arr);}// 定义主函数，用来运行测试int main() {    // 设置随机数种子    srand(time(NULL));    // 测试10次    for (int i = 0; i < 10; i++)   {        printf("Test %d:\n", i + 1);        // 随机生成一个长度为1到10之间的正整数        int n = rand() % 10 + 1;        // 调用测试函数        test(n);        printf("\n");    }    return 0;}

程序测试

为了验证我们的程序是否正确，我们可以用一些测试用例来检验。我们可以用以下的方法来生成测试用例：

随机生成一个长度为n的数组，其中n是一个随机的正整数，数组的元素是随机的整数。对数组进行排序，然后计算相邻元素之间的最大差值，作为期望的答案。调用我们的函数，计算数组的最大差值，作为实际的答案。比较期望的答案和实际的答案是否相等，如果相等，说明我们的函数正确，如果不相等，说明我们的函数有误。

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重复的DNA序列

所有DNA都由一系列缩写为A'，C，G'和·T的核昔酸组成，例如:ACGAATTCCG"。在研究DNA 时，识别DNA中的重复序列有时会对研究非常有帮助。编写一个函数来找出所有目标子串，目标子串的长度为10，且在 DNA 字符串s 中出现次数超过一次。

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