二阶微分方程的一般形式

P（x，y，y',y")=0

稍微特殊一点y"=(x.y,y')

一、二阶常系数线性齐次微分方程的标准形式

形如 y"+py'+qy=f(x)

我们叫做二阶常系数线性微分方程

线性的要求：y，y',y"都是一次项，不含有它们的乘积项

常系数的要求：p，q都是常数。

二阶常系数线性非齐次方程：y"+py'+qy=f(x)

二阶常系数线性齐次方程：y"+py'+qy=0

y"-5y'+6y=xe^2x是非齐次方程；

y"-5y'+5y=0是相应的齐次方程。

二、二阶常系数线性微分方程的解的结构

1.解的叠加

定理：如果函数y1与y2是二阶常系数线性齐次微分方程的两个解，则y=C1y1+C2y2也是方程的解，其中C1，C2是任意常数。

y"+py'+qy=0

(C1y1)"+p(C1y1)'+q(C1y1)=0

(C2y2)"+p(C2y2)'+q(C2y2)=0

(C1y1+C2y2)"+p(C1y1+C2y2)'+q(C1y1+C2y2）=0

思考：y=C1y+C2y是不是方程y"+py'+qy=0的通解？其中C1，C2是任意常数

例：y"+y=0 y1=sinx y2=2sinx y2=cosx

y=C1sinx+C2•2sinx=(C1+2C2)sinx

y=C1sinx+C2cos• x

注：定理8-1说明线性齐次方程的解具有叠加性。叠加起来的解从形式上看含有C1，C2两个任意常数，但它不一定是方程y"+py'+qy=0的解。

2、线性相关、线性无关

（1）判定两个函数是线性相关或无关；

若y1/y2=常数，即y1，y2成比例，则y1，y2线性相关；

若y1/y2≠常数（y1，y2不成比例），则y1，y2线性无关。

（2）判断n个函数是线性相关或无关；

下。

线性相关性、线性无关性的定义：

设y1，y2，…yn为定义区间I内的n个函数，若存在不全为零的常数k1，k2，…kn，使得在该区间内有k1y1+k2y2+…+knyn=0成立，泽称这n个函数在区间I内线性相关，否则称线性无关。

例：1，cos^2 x，sin^2 x=0

1，x，x^2在任何区间（a，b）内是线性无关的，因为在该区间内，要使

k1+k2x+k3•x^2=0

必须

k1=k2=k3=0

3.二阶常系数线性齐次微分方程的解的结构

1.要找到它的两个线性无关的特解y1和y2

2.通解y=C1y1+C2y2

定理8-2 如果函数y1与y2是二阶常系数线性齐次方程的两个线性无关的特解，则y=C1y1+C2y2是方程的通解，其中C1，C2是任意常数。

4.二阶常系数线性非齐次微分方程的解的结构

和一阶线性非齐次方程的解一样，即二阶线性非齐次方程的

通解=相应齐次方程的通解+非齐次方程的一个特解

y1是y"+py'+qy=0的通解，即（y1）"+p(y1)'+qy1=0

y*是y"+py'+qy=f(x)的特解，即（y*）"+p(y*）'+qy*=f(x)

则y=y1+y*是y"+py'+qy=f(x)的通解

所以，求解二阶线性微分方程，搜先要学习齐次方程的解法。

三、二阶常系数齐次微分方程的解法

定理8—2 如果函数y1与y2是二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，则y=C1y1+C2y2是方程的通解，其中C1，C2是任意常数。

y"+py'+qy=0

设y=e^rx,将其带入上放出，得

（r^2+pr+q）e^rx=0

因为e^rx≠0,故有r^2+pr+q=0(特征方程)

特征根

四种情况推导过程此处省略

例：

解：所给方程的特征方程为 r^2+2r+1=0

解之得 r1=r2=-1

通解为 S=(C1+C2•t)e^-t

将初始条件S|t=0=4代入，得C1=4

于是S=(4+C2t)e^-t

对其求导得 S'=(C2-4-C2t)e^-t

将初始条件 S'|t=0 =-2代入上式，得C2=2

所求特解为 S=（4+2t）e^-t.