两类特殊的三角形——等腰三角形和直角三角形

一、等腰三角形

1.定义：

两边相等的三角形叫做等腰三角形.

①顶角，底角；②腰，底.

2.分类

（1）按边的长短分

①腰和底不等的等腰三角形；

②等边三角形.

（2）按角的大小分

①锐角的等腰三角形；

②钝角的等腰三角形；

③等腰直角三角形.

3.性质

（1）轴对称图形；

（2）边：两腰相等；

（3）角：两底角相等；

（4）三条重要线段：等腰三角形的“三线合一”.

3.判定

（1）边：两边相等的三角形是等腰三角形（等边对等角）；

（2）角：两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；

4.应用

（1）证两线段相等或两角相等；

（2）已知一角大小确定另外两个角的大小（分类讨论）；

（3）已知两边大小确定等三边的大小（分类讨论）；

（4）“三线合一”.

二、等边三角形

1.定义：

三边相等的三角形叫做等边三角形.

2.性质

（1）轴对称图形；

（2）一般性质：对等腰三角形的一切性质；

（3）特殊的性质

边：三边相等；

角：三个角相等，并且个角都等于60度；

3.判定

（1）边：三边相等的三角形是等边三角形；

（2）角：三角相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60度的等腰三角形，是等边三角形.

三、直角三角形

1.定义：有一个角是90度的三角形，是直角三角形；

①直角顶点②直角边③斜边④直角⑤锐角⑥锐角的对边⑦锐角的邻边.

2.性质

（1）边：勾股定理 a²+b²=c²；

（2）角：两锐角互余；

（3）中线：角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（4）边、角：锐角的三角函数值sinA=a:c cosA=b:c tanA=a:b

3.判定

（1）边：勾股定理的逆定理

（2）角：

①有一个角是直角的三角形是直角三角形；

②两锐角互余的三角形是直角三角形.

（2）中线：

如果三角形一边上的中线等于这一边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

4.解直角三角形

（1）定义：在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。（注意：解直角三角形需要除直角之外的两个元素，且至少有一个元素是边）

（2）理论依据：

①勾股定理

②锐角三角函数的定义

（3）特殊角的三角函数值

（4）应用

5.①有一个锐角是30⁰的直角三角形：

30度角的所对直角边等于斜边的一半.

②三边之比为：1:2:√3

②腰直角三角形

每个锐角都等于45度

角边与斜边的关系是1:√2.