前言:
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在立体几何的问题中,关于球的内接几何体的问题综合性较为强,需要学生有较好的空间想象能力,此时定会有学生大喊:“臣妾做不到啊!”事实上,很多立体问题必须放在平面中解决,一味的强调空间想象,往往会使问题陷入困境。本文介绍一中立体几何的解题技巧,名为“双圆模型”,可在棱锥的外接问题中大展身手!
什么是双圆模型
双圆模型指在球O中出现两个截面(圆M和圆N),并且这两个截面会有一条公共弦。设公共弦的中点为C。
由于球心到截面的距离必垂直于截面,即OM⊥圆M,ON⊥圆N。据此构造四边形OMCN,其中∠M=90°,∠N=90°。在四边形的平面几何世界中,运用几何或三角知识解决问题,从而研究立体几何的量!
双圆模型的应用
应用1:球的双截面问题
例1、已知球的半径为2,相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆。若两圆的公共弦长为2,则两圆的圆心距等于( )
A.1 B.√2 C.√3 D.2
【分析】做出图形,找到双圆模型。做出四边形OMCN,由于此题两个截面互相垂直,那么该四边形是矩形。且矩形的对角线为√3,故圆心距MN为√3。
【答案】C
练习1:已知球的半径为4,圆与圆为该球的两个小圆,为圆与圆的公共弦,.若,则两圆圆心的距离 .
【答案】3
练习2:已知半径为5的球被互相垂直的两个平面所截,得到的两圆的公共弦长为4,若其中一圆半径为4,则另一圆的半径为( )
A. √10 B. √11 C . 2√3 D.√13
【答案】D
练习3:已知球的半径为8,ʘ和ʘ为该球的两个小圆,为ʘ与ʘ的公共弦.若,则 ( )
A.12 B.8 C.6 D.4
【答案】B
应用2:夹角问题
练习题:
如图,在四面体ABCD中,△ABD是正三角形,AB⊥BC,AD⊥DC,AC=2AB,则直线DC与平面ABD所成角的正弦值等于 .
应用3:求截面面积
已知平面 α截一球面得圆M,过圆心M且与α成 60° 二面角的平面β截该球面得圆N。若该球面的半径为4,圆M的面积为4π,则圆N的面积为( )
( A) 7π ( B) 9π ( C) 11π ( D) 13π
【分析】本题取圆M与圆N构成的双圆模型。画出直观图,如图设点O为球心,则OM⊥α,ON⊥β,且由平面α、β所成二面角为60°,可得∠MON = 60°.由圆 M 的面积为 4π,得其半径为2,所以OM=2√3。在Rt△ONM中,ON = OMcos 60°=√3,故圆N的半径为√13,从而其面积为13π。
答案选 D。
应用4:外接球问题
在三棱锥S-ABC中,△ABC是边长为3的等边三角形,SA =√3 ,SB = 2√3 ,二面角S-AB-C的大小为120°,则此三棱锥的外接球的表面积为__________
【分析】取△ABC、△SAB 的外接圆为双圆模型.如图,设M是边长为3的等边△ABC的外接圆圆心,AB的中点为P,则MP =(√3)/2,由AB²+ SA²= SB²,得△SAB 是以SB为斜边的直角三角形,其外接圆圆心为SB中点N.由NP = 1/2SA=(√3)/2 = MP,OP 为公共边,得 Rt△ONP≌Rt△OMP.于是,∠OPN=∠OPM=1/2∠NPM=60°,OP=2NP=√3。
所以,三棱锥的外接球半径R=OB=(√21)/2,表面积S=4πR²=21π。
练习题1:
已知是球面上的四点,若,二面角的平面角等于,则该球的表面积是 。(答案用含有的式子表示)
【答案】28π/3
练习题2:
设直线与球有且只有一个公共点,从直线出发的两个半平面截球的两个截面的半径分别为,若二面角的平面角为,则球的表面积为( )
A、16 B、28 C、112 D、196
【答案】C
练习题3:
已知三棱锥A﹣BCD中,AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD,直线AD与底面BCD所成角为,则此时三棱锥外接球的表面积为( )
A.4π B.8π C.16π D.8√2π/3
【答案】B.
练习题4:
在三棱锥P﹣ABC中,PA=2,PC=2,AB,BC=3,∠ABC,则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为( )
A.4π B.(16/3)π C.π D.16π
【答案】D.
练习题5:
在三棱锥P﹣ABC中,∠ACB,CA=CB=2,PA=PB=2,PC=2,则三棱锥P﹣ABC的外接球表面积为( )
A.12π B.24π C.36π D.48π
【答案】B.
练习题6:
在三棱锥P﹣ABC中,PA=PB=PC=2,AB,BC,∠APC,则三棱锥P﹣ABC外接球的表面积为( )
A.8π B. (28/3)π C.10π D.(32/3)π
【答案】D.
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