保罗·洛克哈特

【编者按】

保罗·洛克哈特（Paul Lockhart），一位富有传奇色彩的数学家。大概14岁时，他对数学产生了浓厚兴趣（他特别指出，不是由于学校的数学课程）。为专心研究数学，他从大学退学，靠编程和当小学老师为生。1990年在哥伦比亚大学获得博士学位后，洛克哈特先后在加州大学伯克利分校的数学科学研究中心（MSRI）和布朗大学任职。2000年加入纽约的独立学校圣安学校，教导从幼儿园到12年级的数学课至今。保罗更愿意把数学看作一门艺术而不是科学，它是最纯粹的，能通过好奇、探索与游戏，打开孩子的心智，培养孩子的思维能力和艺术美感。在《一个数学家的叹息：如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界》一书中，他澄清了数学教育的误区，展现了数学的艺术之美。本文摘编自该书的《数学与文化》一章，由澎湃新闻经青豆书坊授权发布。

首先我们要了解，数学是一门艺术。数学和其他类型的艺术（如音乐和绘画）的差别只在于，我们的文化不认同数学是一门艺术。每个人都了解，诗人、画家、音乐家创造出艺术作品，以文字、图像及声音来表达自我。事实上，我们的社会对创造性的表达是相当大方的，建筑师、厨师、甚至电视导播都被认为是职业上的艺术家。那么，为何数学家不是呢？这个问题，有一部分原因出在没有人知道数学家到底在做些什么。社会上的普遍认知似乎是，数学家和科学是有关联的——也许是因为数学家提供给科学家一些公式和定理，或者协助将一大堆数字输入计算机。如果这个世界必须要分成“诗意梦想家”和“理性思考家”两类人，毫无疑问，绝大多数人会把数学家放在后面那一类。

然而，事实上，没有什么像数学那样梦幻及富有诗意，那样激进、具破坏力和带有奇幻色彩。我们觉得天文学或物理学很震撼人心，在这一点上，数学完全一样（在天文学家发现黑洞之前，数学家老早就有黑洞的构想了），而且数学比诗、美术或音乐容许更多的表现自由，后者高度依赖这个世界的物理性质。数学是最纯粹的艺术，同时也最容易受到误解。

因此，让我试着解释数学是什么，以及数学家做些什么。我以英国数学家哈代（G.H.Hardy）绝佳的叙述作为开场：

一位数学家，就像一位画家或诗人，是模式（pattern）的创造者。如果他的模式比画家或诗人的模式能留存得更久，那是因为这些模式是用理念（ideas）创造出来的。

所以数学家的工作是做出理念的模式（making patterns of ideas）。什么样的模式？什么样的理念？是关于犀牛的理念吗？不是的，那些留给生物学家吧。是关于语言和文化的理念吗？不，通常不是。这些对大部分数学家的审美观而言，都太复杂了。如果数学有一个统一的美学原则的话，那将是：简单就是美（simple is beautiful）。数学家喜欢思考最简单的可能性，而这种最简单的可能性是想象的，不见得是现实存在的。

例如，如果现在我在思考形状——这是我常常做的——我可能会想象在长方形中有一个三角形：

我想知道，这个三角形占据了长方形多少的空间——三分之二吗？重点是要了解，我现在探讨的不是长方形内有三角形的这幅画；我探讨的，也不是组成桥梁上梁柱架构的那些金属三角形。在此，并没有那些深谋远虑的实用目的存在，我纯粹就是在玩。这就是数学——想知道（wondering）、游戏（playing）、用自己的想象力来娱乐（amusing）自己。首先，三角形在长方形中占据了多少空间，甚至没有任何真实、实体上的目的。即使是最谨慎小心制造出来的实体三角形，仍然是不断震动的原子所组成的，它的形状每分钟都在改变。也就是说，除非你要探讨“近似”（approximate）的度量。好了，这里就会牵扯到数学的“美学”了。因为那样就不单纯了，它成为一个依赖真实世界各式各样细节的丑陋问题了。那些留给科学家去解决吧。数学提出的问题是，在一个想象的长方形中有一个想象的三角形。它们的形状边缘很完美，因为我要它们很完美——这就是我喜欢思考的问题类型。这就是数学的一个主要特征：你想要它是什么样，它就是什么样。你有无限多的选项，没有真实世界来挡路。

另一方面，一旦你做了选择（例如，我可能选择我的三角形是对称的，或不是对称的），然后，你这个新创造就会自行发展下去，不管你是否喜欢它的后续发展。这就是制造想象的模式时有趣的地方：它们会回应！这个三角形在长方形中占据了某个空间比例，而我完全无法控制这个比例为何。这个数字就摆在那里，可能是三分之二，可能不是，但可不是我说了算。我必须找出这个数字。

因此，我们可以玩玩看，想象一下我们要什么，然后做出模式，再对这套模式提出问题。但是我们要如何解答这些问题呢？这一点都不像科学，我没办法用试管、设备或是任何东西通过做实验来告诉自己，我想象出来的虚拟物的真相。能得知我们想象物的真相的唯一方法，就是运用我们的想象力，然而这是个艰苦的差事。

在这个例子中，我的确看到了简单又美妙的地方：

如果我把长方形像上面那样切成两个部分，我可以看到这两个部分都被三角形的斜边斜切成一半，所以三角形里面和外面的空间是相等的。也就是说，这个三角形一定是正好占了长方形的一半！

这就是数学的外貌和感觉。数学家的艺术就像这样：对于我们想象的创造物提出简单而直接的问题，然后制作出令人满意又美丽的解释。没有其他事物能达到如此纯粹的概念世界；如此令人着迷、充满趣味，而且不花半毛钱！

你也许要问了，我的这个想法又是从何而来的？我怎么知道要画那条辅助线？那我要问你了，画家又是怎么知道要在哪里画上一笔？灵感、经验、尝试错误、运气。这就是艺术，创造出那些有思想的美丽小诗，创造出那些纯粹理性的诗篇。这个艺术形态有着某种东西，能做如此神奇的转变。三角形和长方形之间的关系原本是个谜，然而那条小小的辅助线让谜底浮现了出来。我本来看不出来的，突然间我就看见了。然而，我能够从“无”当中创造出全然简单的美丽，并且在这个过程当中改变了我自己。这不正是艺术吗？

这就是为什么看到现在学校里的数学教育会让人如此痛心。这么丰富且迷人的想象力探索过程，却一直遭到贬抑，沦落成一套要死记硬背毫无生气的“事实”（facts），以及必须遵循的演算程序。关于“形状”的一个简单而自然的问题，一个富有创造性和收获的发明与发现的过程，却被取代为：

“三角形面积等于底乘以高的一半”，学生被要求死背这个公式，然后在“习题”中反复“应用”。兴奋之情、乐趣、甚至创造过程会有的痛苦与挫折，全都消磨殆尽了。再也没有任何“困难”了。问题在提出来的同时被解答了——学生没事可做。

现在，让我说清楚我到底在反对什么。不是公式，也不是背记一些有趣的事实。在某些情境下，这是可以的，就像学习词汇必须要记忆一样——这可以帮助我们创造更丰富、更微妙的艺术作品。但是，三角形面积是长方形面积的一半，这个“事实”并不重要。重要的是，以辅助线来切割的这个巧妙构思，以及这个构思可能激发出其他美妙的构思，进而引导出在其他问题上的创造性突破——光是事实的陈述绝不可能给你这些的。

拿掉了创造性的过程，只留下过程的结果，保证没有人能真正全身心投入这个科目。这就像是“说”米开朗基罗创造了美丽的雕塑却不让我“看”它。我要如何受到激发而产生灵感？（当然实际上还更糟——至少我还知道有一个雕塑艺术存在，只是不让我去欣赏它。）

由于将焦点集中在“什么”，排除掉“为什么”，数学被降格为一个空壳子。数学不是在“真相”里，而是在说明、论证之中。论证的本身赋予真相一个情境，并确认我们到底在谈论什么、其意义何在。数学是说明的艺术（the art of explanation）。如果你不让学生有机会参与这项活动——提出自己的问题、自己猜测与发现、试错、经历创造中的挫折、产生灵感、拼凑出他们的解释和证明——你就是不让他们学习数学。所以，我不是在抱怨我们数学课堂上出现的事实与公式，我抱怨的是我们的数学课里没有数学。

如果你的美术老师告诉你，绘画就是在标了数字的区块上涂上颜色，你会知道这是不对的。我们的文化让你了解这些——我们有博物馆、画廊，你自己家里也有挂画。我们的社会非常了解绘画是媒介，人类借由绘画来表达、展现自我。同样地，如果你的科学老师说，天文学是根据人们的出生日期来预测人们未来行为的一门学科，你会知道这个老师有问题——科学深入我们的文化，几乎每个人都知道原子、星系以及一些自然定律。但是如果你的数学老师给你一个印象，不管是直接说出来或是大家默认的，让你觉得数学是公式、定义以及背记一堆算法，谁来帮你矫正这个印象呢？

文化是自我复制繁衍的怪物：学生从他们老师那里学习数学，而老师又是从他们的老师那里学习数学，所以对于数学欠缺的了解与欣赏，会在我们的文化中无止境地复制下去。更糟的是，这种“伪数学”以及这种强调精准却无灵魂地操弄符号的延续，创造了自己的文化和自己的一套价值观。那些已经精熟这一套的人，从他们的成功当中衍生出了极大的自负。他们最听不进去的就是，数学其实是原始的创造力和美学的感受力。许多数学研究生在被人说“数学很强”说了十年之后，才发现自己其实没有真正的数学天分，只是很会遵循指示而已，他们感到伤心、失败。数学不是遵循指示，而是要创造出新的方向。

《一个数学家的叹息：如何让孩子好奇、想学习、走进美丽的数学世界》，[美]保罗·洛克哈特著，高翠霜译，上海社会科学院出版社|青豆书坊2019年8月。

本期编辑 常琛