关于前文《算式谜》中题1、题4的补充说明

　　2019年1月12日星期六

（一）题1及补充

　　题1如下：

　　补充如下：

　　这道题的结果是：142857×3＝428571。

　　这道题是怎么编出来的？

　　1÷7＝0.142857142857142857……，循环节是142857；

　　2÷7＝0.285714285714285714……，循环节是285714；

　　3÷7＝0.428571428571428571……，循环节是428571；

　　4÷7＝0.571428571428571428……，循环节是571428；

　　5÷7＝0.714285714285714285……，循环节是714285；

　　6÷7＝0.857142857142857142……，循环节是857142；

　　7÷7＝0.999999999999999999……，商其实是1，转换角度可得循环节是999999。

　　于是有：

　　142857×1＝142857

　　142857×2＝285714

　　142857×3＝428571

　　142857×4＝571428

　　142857×5＝714285

　　142857×6＝857142

　　142857×7＝999999

　　积恰好等于上面的循环节。

　　这七道乘法算式中，可以出题的只有：

　　142857×3＝428571

　　142857×7＝999999

　　因为：

　　乘以1没什么悬念，积完全等于另外一个因数。

　　乘以2、4、6，积的个位数字只能是2、4、6、8、0，根据积的个位数字不能唯一确定是“几”乘以2、4、6。每种个位数字都有可能的两种情况，比如个位数字是8，有可能是2乘以4、9，或4乘以2、7，或6乘以3、8。

　　乘以5更不用说了，积的个位数字只有0或5。如果个位数字是0，有可能是5乘以0、2、4、6、8；如果个位数字是5，有可能是5乘以1、3、5、7、9。

　　满足能根据“积的个位数字”唯一反推“乘法口诀”的只有乘以3和乘以7。

　　乘以7的时候，一个因数142857与积999999在数字上完全没有相同的部分，失掉了很多趣味性。

　　故而，这道题目是：142857×3＝428571

（二）题4及补充（二）_1.抛出问题

　　题4如下：

　　开放的中国盼奥运×□＝盼盼盼盼盼盼盼盼盼

　　补充如下：

　　前文给出的解题思路中有四个关键的等式：

　　等式1：盼盼盼盼盼盼盼盼盼＝盼×111111111

　　等式2：111111111＝3×3×37×333667

　　等式3：开放的中国盼奥运×□＝盼×3×3×37×333667

　　等式4：开放的中国盼奥运×□＝盼×111111111

　　四个等式中，又以“等式2”最为重要。

　　一个自然的问题是：9个1能不能改为更一般地n个1？

（二）_2.研究“n个1”

　　让我们来看一些有趣的结论：

　　1个1：1既不是质数，又不是合数

　　2个1：11是质数

　　3个1：111＝3×37

　　4个1：1111＝11×101

　　5个1：11111＝41×271

　　6个1：111111＝3×7×11×13×37

　　7个1：1111111＝239×4649

　　8个1：11111111＝11×73×101×137

　　9个1：111111111＝3×3×37×333667

　　10个1：1111111111＝11×41×271×9091

　　11个1：11111111111＝21649×513239

　　12个1：111111111111＝3×7×11×13×37×101×9901

　　13个1：1111111111111＝53×79×265371653

　　14个1：11111111111111＝11×239×4649×909091

　　15个1：111111111111111＝3×31×37×41×271×2906161

　　以上“1个1”直到“15个1”的“质因数分解”，是我根据自己写的“素数判断程序”得出的。

　　以下“16个1”直到“49个1”却是我在ExcelHome论坛“浸泡”时，由大神northwolves给出的。大神的结论往往在不经意间就会被引用到。在此，向northwolves表示敬意。

　　16个1：1111111111111111＝11×17×73×101×137×5882353

　　17个1：11111111111111111＝2071723×5363222357

　　18个1：111111111111111111＝3×3×7×11×13×19×37×52579×333667

　　19个1：1111111111111111111是质数

　　20个1：11111111111111111111＝11×41×101×271×3541×9091×27961

　　21个1：111111111111111111111＝3×37×43×239×1933×4649×10838689

　　22个1：1111111111111111111111＝11×11×23×4093×8779×21649×513239

　　23个1：11111111111111111111111是质数

　　24个1：111111111111111111111111＝3×7×11×13×37×73×101×137×9901×99990001

　　25个1：1111111111111111111111111＝41×271×21401×25601×182521213001

　　26个1：11111111111111111111111111＝11×53×79×859×265371653×1058313049

　　27个1：111111111111111111111111111＝3×3×3×37×757×333667×440334654777631

　　28个1：1111111111111111111111111111＝11×29×101×239×281×4649×909091×121499449

　　29个1：11111111111111111111111111111＝3191×16763×43037×62003×77843839397

　　30个1：111111111111111111111111111111＝3×7×11×13×31×37×41×211×241×271×2161×9091×2906161

　　31个1：1111111111111111111111111111111＝2791×6943319×57336415063790604359

　　32个1：11111111111111111111111111111111＝11×17×73×101×137×353×449×641×1409×69857×5882353

　　33个1：111111111111111111111111111111111＝3×37×67×21649×513239×1344628210313298373

　　34个1：1111111111111111111111111111111111＝11×103×4013×2071723×5363222357×21993833369

　　35个1：11111111111111111111111111111111111＝41×71×239×271×4649×123551×102598800232111471

　　36个1：111111111111111111111111111111111111＝3×3×7×11×13×19×37×101×9901×52579×333667×999999000001

　　37个1：1111111111111111111111111111111111111＝2028119×247629013×2212394296770203368013

　　38个1：11111111111111111111111111111111111111＝11×909090909090909091×1111111111111111111

　　39个1：111111111111111111111111111111111111111＝3×37×53×79×265371653×900900900900990990990991

　　40个1：1111111111111111111111111111111111111111＝11×41×73×101×137×271×3541×9091×27961×1676321×5964848081

　　41个1：11111111111111111111111111111111111111111＝83×1231×538987×201763709900322803748657942361

　　42个1：111111111111111111111111111111111111111111＝3×7×7×11×13×37×43×127×239×1933×2689×4649×459691×909091×10838689

　　43个1：1111111111111111111111111111111111111111111＝173×1527791×1963506722254397×2140992015395526641

　　44个1：11111111111111111111111111111111111111111111＝11×11×23×89×101×4093×8779×21649×513239×1052788969×1056689261

　　45个1：111111111111111111111111111111111111111111111＝3×3×31×37×41×271×238681×333667×2906161×4185502830133110721

　　46个1：1111111111111111111111111111111111111111111111＝11×47×139×2531×549797184491917×11111111111111111111111

　　47个1：11111111111111111111111111111111111111111111111＝35121409×316362908763458525001406154038726382279

　　48个1：111111111111111111111111111111111111111111111111＝3×7×11×13×17×37×73×101×137×9901×5882353×99990001×9999999900000001

　　49个1：1111111111111111111111111111111111111111111111111＝239×4649×505885997×1976730144598190963568023014679333

　　对上面令人眼花瞭乱的数字中隐藏的结论稍做整理：从“1个1”到“49个1”中，只有3个质数，分别是“2个1”、“19个1”、“23个1”。

　　（重要程度★★★★★）

（二）_3.寻找联系

　　与本次“题4补充”何干？

　　题4中，一个八位数（各个数位上数字互不相同），乘以一个未知的一位数，得一个九位数，且这个九位数的各个数位上的数字都相同，甚至还等于“八位因数”百位上的数字。

　　这是“题4”的出题特点。

　　显然，从“互不相同”的条件出发，一个因数最大选择“十位数”（一共有“0～9”十个数字嘛），也即积最大考虑“盼”乘以“11个1”。

　　自“2个1”到“11个1”中，质数不能选，分解后没有“个位数质因数”的不能选（如果您完全了解了《算式谜》一文中给出的解题方法的话，就会理解这么做的原因）。此时只剩下：

　　3个1：111＝3×37

　　6个1：111111＝3×7×11×13×37

　　9个1：111111111＝3×3×37×333667

　　（重要程度★★★★★）

　　其中“9个1”已经有了“题4”。我们尝试一下“3个1”和“6个1”，看能不能编出一道类似“题4”的题目。

（二）_4.寻找新题

　　（1）“3个1”

　　AB×□＝盼×3×37

　　根据前文分析有：□≠盼，“□”等于“盼×3”中任意乘积不大于9的组合。

　　设：盼＝1，则有：□＝3

　　设：盼＝2，则有：□＝3、6

　　设：盼＝3，则有：□＝9

　　设：盼＝4，则有：□＝3

　　设：盼＝5，则有：□＝3

　　设：盼＝6，则有：□＝3

　　设：盼＝7，则有：□＝3

　　设：盼＝8，则有：□＝3

　　设：盼＝9，则有：□＝3

　　验证：

　　111÷3＝37，因数37中没有数字1，舍去；

　　222÷3＝74，因数74中没有数字2，舍去；

　　222÷6＝37，因数37中没有数字2，舍去；

　　333÷9＝37，因数37中有数字3，符合题目要求，得到：37×9＝333；

　　444÷3＝148，从此后，因数148是三位数，更不合题目要求，全部舍去。

　　由此可见：□＞盼。

　　这才是二者之间的最强关系！！！

　　（重要程度★★★★★）

　　（2）“6个1”

　　ABCDE×□＝盼×3×7×11×13×37

　　已知：□＞盼，“□”等于“盼×3×7”中任意乘积不大于9的组合。

　　设：盼＝1，则有：□＝3、7

　　设：盼＝2，则有：□＝3、6、7

　　设：盼＝3，则有：□＝7、9

　　设：盼＝4，则有：□＝7

　　设：盼＝5，则有：□＝7

　　设：盼＝6，则有：□＝7

　　设：盼＝7，则有：□＝无

　　设：盼＝8，则有：□＝无

　　设：盼＝9，则有：□＝无

　　验证：

　　111111÷3＝37037，因数37037中没有数字1且有重复数字，舍去；

　　111111÷7＝15873，满足条件，得到：15873×7＝111111；

　　222222÷3＝74074，舍去；

　　222222÷6＝37037，舍去；

　　222222÷7＝31746，因数31746中没有数字2，舍去；

　　333333÷7＝47619，因数47619中没有数字3，舍去；

　　333333÷9＝37037，舍去；

　　444444÷7＝63492，满足条件，得到：63492×7＝444444；

　　555555÷7＝79365，满足条件，得到：79365×7＝555555；

　　666666÷7＝95238，因数95238中没有数字6，舍去。

（二）_5.重要结论

　　题4如下：

　　开放的中国盼奥运×□＝盼盼盼盼盼盼盼盼盼

　　换个形式：

　　ABCDEFGH×□＝FFFFFFFFF

　　答案是：

　　86419753×9＝777777777

　　寻找到的新题有4道：

　　37×9＝333，概括形式为：AB×□＝AAA；

　　15873×7＝111111，概括形式为：ABCDE×□＝AAAAAA；

　　63492×7＝444444，概括形式为：ABCDE×□＝CCCCCC；

　　79365×7＝555555，概括形式为：ABCDE×□＝EEEEEE。

　　也许，还有一个结论：

　　本文将形如“题4”的题目穷尽了，世间再无第6道！！！

　　（震撼程度★★★★★）

（三）写在最后

　　学习数学，不折腾，您永远不会知道自己会发现什么。

　　再会。