2023年8月22日统计学大师、印度裔美国数学家Calyampudi Radhakrishna Rao逝世，享年102岁。C. R. Rao的主要成就包括Cramér-Rao不等式、Rao-Blackwell定理、Fisher-Rao信息、Rao距离、Kagan-Linnik-Rao定理等，前两者已是每个统计学本科生学习的内容；他将微分几何引入统计推断，开创了信息几何领域。Rao的工作不仅影响了统计学，还对经济学、人类学、地质学、生物测定、信息处理、人工智能等领域产生深远影响。美国统计协会曾称他是“一个活着的传奇”，他的一生就是统计学的一百年。

撰文 | 星辰

C.R.Rao (1920-2023)

在终极的分析中，一切知识都是历史；

在抽象的意义下，一切科学都是数学；

在理性的世界里，所有的判断都是统计学。

——C.R.Rao

主要成就

C.R.Rao（Calyampudi Radhakrishna Rao，1920-），美国科学院院士，英国皇家统计学会会员，当代国际最著名的统计学家之一，师从现代统计学的奠基人罗纳德・费希尔（Ronald Aylmer Fisher），百岁传奇人物。

C.R.Rao的主要成就包括Rao-Blackwell定理、Fisher-Rao信息、Rao距离、Kagan-Linnik-Rao定理和cramér-Rao界限等。1945年，Rao发表了重量级文章——Information and accuracy attainable in the estimation of statistical parameters，为他的传奇人生增添了重重的一笔，呈现了统计推断中两个基础性的结果：其一是著名的Cramer-Rao信息不等式，该不等式给出了一定条件下无偏估计的方差下界，以及如何求得该下界；另一个结果是Rao-Blackwell定理，该定理给出了以一个任意的原始估计为起点，寻找最小方差无偏估计量（MVUE）的方法；并且将微分几何引入统计推断，开辟了现在称为信息几何的新兴领域。信息几何不仅在统计学中，而且在人工智能、数据科学、信号处理、物理学和许多其他领域中已经发展成为一种重要的工具。在他的职业生涯中，Rao发表了超过475篇科学论文，撰写或合著了16本书，并指导了50多名博士生。

Rao 和 Cramer

Rao 和 Blackwell

C.R.Rao教授已经获得包括美国统计协会、英国皇家统计学会以及印度科学院的10余项重大统计学大奖。2002年C.R.Rao教授获得美国国家科学奖章（National Medal of Science，也称总统科学奖章：Presidential Medal of Science，是由美国总统授予曾在行为与社会科学、生物学、化学、工程学、数学及物理学领域作出重要贡献的美国科学家，号称“美国的诺贝尔奖”），表彰他在“统计学理论的建立、多元统计分析方法及其应用方面所做的开拓性贡献，其丰富了物理学、生物学、数学、经济学和工程科学的发展”。2010年获得英国皇家统计学会盖伊金奖（盖伊奖章以世界著名物理学家和统计学家William Guy命名，奖励在统计学界取得卓越成就的统计学者）。最近的奖项是2022年IEEE荣誉会员，由IEEE董事会从为人类做出卓越贡献的杰出个人中选出（编者注：2023年7月C. R. Rao获得国际统计学奖，该奖项每两年颁发一次，被誉为诺贝尔统计学奖）。

迄今，C.R.Rao教授共获得包括英国、印度、俄罗斯、希腊、美国、秘鲁、芬兰、菲律宾、瑞士、波兰、斯洛维亚、德国、西班牙以及加拿大等19个国家的大学以及研究机构的荣誉博士学位39个，先后被选为美国科学院、英国皇家学会等31个国际著名的科学和统计学研究机构的院士、理事或荣誉院士。

其他成就：

1965年:出版书籍《线性统计推断及其应用》

1971-1976年:印度计量经济学协会主席

1973-1975年:国际生物统计学会主席

1976-1977年:美国数理统计学会主席

1977-1979年:国际统计学会主席

1979-1988年:美国匹兹堡大学教授

1988-2001年:美国宾夕法尼亚州立大学 (PSU) Eberly教授

1991-2010年:美国宾夕法尼亚州立大学 (PSU) 多元分析中心主任

1995年:美国国家科学院院士

1996年:名列美国埃尔帕索德克萨斯大学在16-20世纪对概率和统计的57项主要贡献中

2000年:名列在英国南安普顿大学自1650年以来对概率和统计的35项主要贡献中

2001年:获得印度Padma Vibhushan (第二高公民奖)；

2003年:国际马哈拉诺比斯奖

2007年:以C.R.Rao命名的研究所C.R.Rao数学、统计学和计算机科学前沿研究所 (AIMSCS) 在印度海得拉巴落成

2010年:美国SUNY布法罗大学研究教授

生平

C.R.Rao于1920年9月10日出生在哈达加利 (Hadagali)，即现在的印度卡纳塔克邦 (State of Karnataka，位于印度西南部)。他与六个兄弟和四个姐妹在一个舒适的家庭环境中长大，是家中的第八个孩子。他的父亲是一名巡警，很快认识到Rao在数学方面的天赋并鼓励他从事研究工作。他在《统计与真理：怎样运用偶然性》一书中写到：“在我年少时，母亲每天早上四点起床，为我点上灯油，使我能在安静的早晨精力充沛地用功读书”，这对他的非凡事业产生了深远的影响。

Rao15岁和19岁

1937年获得维萨卡帕特南 (Visakhapatnam) A.V.N.学院学士学位；1940年获得印度安得拉大学 (Andhra University) 数学硕士学位。他想从事数学职业，但他的研究奖学金申请由于超过截止日期被拒绝。这时第二次世界大战已经爆发，C.R.Rao申请了一份在陆军调查部队做数学家的工作，去加尔各答(Calcutta)参加了一个面试，但是因年龄不满20岁 (他是9 月10日出生的) 没有通过。

一次偶然的机会，他在加尔各答遇到了一个正在印度统计研究所 (Indian Statistical Institute，简称ISI) 参加培训课程的人，了解到ISI有一个统计实习生的训练计划。他申请参加为期一年的统计学培训项目，希望额外的资格证书能让他在未来找到工作，很幸运被录取了。1941年1月，C.R.Rao进入了ISI的培训项目，该研究所是由P.C.Mahalanobis（Prasanta Chandra Mahalanobis，数学家和统计学家）于1931年创建的，Mahalanobis对Rao的一生产生了非常重要和深远的影响。期间，C.R.Rao又加入了加尔各答大学新成立的统计学硕士项目，1943年获印度加尔各答大学 (Calcutta University) 统计学硕士学位。他获得了两个硕士学位，并在ISI获得了研究学者的职位，同时在加尔各答大学兼职教授统计学课程。

Rao 和 Mahalanobis

Rao 和 Fisher

1946年C.R.Rao入读剑桥大学国王学院，跟随现代统计学的创始人罗纳德・费希尔（Ronald Aylmer Fisher）攻读博士学位。Fisher在1925的文章”统计估计的理论“构建了统计推断的基石。这篇文章当中引入了大量基础性的概念比如相合性、充分性、有效性、Fisher信息、极大似然估计和最优性。在Fisher的遗传学实验室工作过程中，Rao意识到同质性检验的必要性，而他同时也引入了一个新的基于得分函数和信息矩阵的统计量。Rao所提的得分统计量现今已成为每一个统计学家和实际工作者的工具。Neyman和Pearson的似然比，Wald统计量以及Rao的得分统计量经常被称为统计学的三位一体。Rao于1948年获得剑桥大学博士学位。

1948年8月Rao回到ISI，他回国后的第一个工作是完成他的著作“生物学研究中的高级统计方法“。这是一本关于多元统计方法及其应用的入门书籍。同时Rao开始指导博士生。他的第一个博士生是Basu。Basu从1950年开始读博士，1953年获得博士学位。在后来的岁月里，Basu将对统计推断做出基础性的贡献，其中包括众所周知的Basu定理。

在ISI期间，Rao基本保持同时指导5-6个博士生，而且涉及统计学完全不同的领域。其中包括抽样调查、多元分析、质量控制、特征化、实验设计、方向性数据、组合和图理论，基于他在剑桥所习得的知识和见解，他同时还指导学生从事统计遗传学、概率论和随机过程以及博弈论等。在对他而言相对较新的领域，他会让学生仔细阅读相关文献并撰写综述。他非常善于在不同领域之间建立符合直觉的联系并提供独特的解决途径。

1953年，Rao前往University of Illinois at Urbana-Champaign (UIUC) 做了为期一年的访问研究教授。在此期间，Rao参加了编程课程。返回ISI后，Rao开始推广计算机在印度的使用。但由于很多人担心自动化会导致失业从而极大地延缓了计算机的使用。多年后，Rao说：“我们失去了基于复杂计算来发展统计方法的大好机会”。

尽管有很重的行政事务，Rao仍然坚持科研工作。之后他开始写一本统计学基础的新书，这本发表于1965年的书籍“线性统计推断及其应用”现今已成为统计学专业学生的必读书籍。同时Rao在Mahalanobis之后担任Sankhya期刊的主编。Mahalanobis在1972去世后，Rao开始担任ISI的领导者，之后Rao被任命为“尼赫鲁教授”。

1978年，Rao在匹兹堡大学担任Mellon冠名教授，后来又在俄亥俄州立大学担任访问教授。这两所大学都提供给他永久职位。Rao当时已接近60岁，而60岁在印度大多数机构是强制退休的年龄。接受美国大学的邀请能够使他精力集中在研究方面，并书写他的事业的新篇章。

1988年，宾州州立大学统计系说服Rao作为第一个Eberly讲座教授加入统计系。直到2001年退休他一直担任着统计系的Eberly讲座教授，并于2009年担任荣休教授。退休后，Rao担任Buffalo大学生物统计系的研究教授。

趣闻轶事

在Fisher的遗传学实验室工作过程中，Rao给Fisher看他写的得分统计量的手稿，但Fisher坚持要求Rao必须在实际数据上展示统计量的表现才行。根据Fisher的建议，Rao将得分统计量应用于报春花的关联数据当中并将文章投稿到Fisher所创办的期刊Heredity。而另一篇发展得分统计量的理论基础和性质的文章则在1948年发表于Proceedings of the Cambridge Philosophical Society。

尽管Fisher较少直接参与Rao的工作，他对Rao事业的影响仅次于Mahalanobis。和Mahalanobis一样，Fisher意识到数据和实际应用在统计方法发展中的重要性。Bradley Efron（统计学家，研究领域数学和计算机科学，2005年获得美国国家科学奖章）曾写道：“没人能比Fisher在统计学的内涵（数学基础）和外延（统计方法）以及它们的融合方面做得更好。他的理论框架总能天衣无缝地和重要的应用衔接起来。在庆祝Rao100岁生日的文章中，Efron写到“Rao在延续Fisher的统计传统方面，的确是Fisher的学生”。

Mahalanobis和Fisher都是非凡的人物，对工作极度热情，但又经常不知妥协。他们坚信统计研究应当受实际应用所驱动，他们理解应用是如何催生新的理论的发展，同时他们意识到数据质量的重要性。Rao认为他们是他人生道路上的引导力量。

和Mahalanobis以及Fisher的工作中，Rao意识到由实际应用驱动的研究的重要性。到了二十世纪50年代，Rao开始体会到计算机和计算方法在统计方法发展中的关键作用。作为一个具有极端预见性的科学家，Rao预见了大数据革命以及由数学、统计学和计算机科学所构成的交叉学科。在2007年，他建立了C.R. Rao数学、统计学和计算机科学前沿研究所 (AIMSCS)。Rao持续拓展统计学的边界来解决大数据时代和人工智能中的挑战问题。

2021年10月，Rao参加了他的学生、长期朋友和合作者在网上为他举行的101岁生日庆祝活动。

本文撰写中参考了以下文献，特此鸣谢：

1.Andrews G E, Babu G J, Bai Z, et al. CR Rao (1920–) celebrates his 101st birthday[J]. Not Am Math Soc, 2022, 69(6): 982-997.

2.Efron B,Amari S, Rubin D B, et al. CR Rao's century[J]. Significance, 2020, 17(4): 36-38.

3.C.R.Rao,Information and the accuracy attainable in the estimation of statistical parameters, Bull. Calcutta Math. Soc.37 (1945), 81–91.

4.C.R.Rao, 统计与真理:怎样运用偶然性[M].北京:科学出版社,2004.

5.C.R.Rao: 统计学的一百年，微信公众号: 郭老师统计小课堂.

本文转载自微信公众号“概率统计之家”。

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