近日看到一则“悖论”。

这个“悖论”的问题就在于，一开始的(1)式并不存在实数根，如果允许用复数的话，它有两个虚数根。

而到了(5),一般人习惯于实数范围内考虑问题，觉得1的立方根就是1，但实际上1还有两个虚立方根:

如果你坚持在实数范围内看问题，那么一开始的（1）就无法成立，虚假的前件推出任何后件都是正常的。

而如果你允许虚数，那么（6）是错的，1应当是增根予以舍弃，那两个虚数根就是原方程的根。

讲到这里，问题似乎已经结束了，但等等，为什么会出现增根？增根是从哪一步冒出来的？

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如果你解分式方程，会给等式两边同乘以分母，结果可能会出现让分母等于0的增根，但以上过程仅仅出现了分母x，而0并不是增根。

如果你解根式方程，由于算术根的非负约定，等式两边平方后会有增根，但我们这里没有平方，增根1在开立方之前就存在。

我们仔细检查一下，发现（3）就有增根了。

我们理一理，从（1）到（2），只要x不为0就是恒等变形。

（3）怎么得来的呢？可以看作（2）式 -（1）式，这里就出现了增根。

这么简单的加减法怎么会出现增根呢？因为你丢失了一部分信息。

（1）是一开始的式子，（2）是恒等变形（可以验算x不为0）。

（3）是由（1）和（2）联合推出的，所以（3）是（1）与（2）作为整体的必要条件。

但是（3）能不能推出（1）和（2）呢？实际上不能。尽管已知（3）和（2）可以推出（1）,已知（3）和（1）可以推出（2），但不能同时推出两者。

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抛开原题，我们重新看一个例子：

这次不用除法，我们乘以x，得到

(q2)式-a(q1)式:

可以看到，不管什么方程，我们都能给它强行引入增根a.

其实我们还可以更干脆一点。

(q1)式-(q1)式:

这是恒等式，x成为自由变量，瞬间把一切增根都弄进来了。不过由于这个问题过于明显，一般人不会困惑在此。

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那么我们平时用加减消元法解普通的n元线性方程组是不是有漏洞呢？

回顾上文，关键就在于每一步的推导是否可逆。

比如说：

换成

这里a,b,c,d都是常数。

显然，只要这里的b,d不为0，那么是可逆的（无论f,g,h本身是线性的还是非线性的，这个组的替换都是可逆的）。

如果弄成

要确认起来就比较复杂了。

所以稳妥的做法是，每次选择两个方程，把其中一个保留，另一个用加减消元之后的代替。

这样能保证每一步都可逆，你最后的组的解就是原来的组的解，没有增失。

在实际解线性方程组的过程中，我们可以选定一个变量，称为主元。

选择一个让主元系数不为0的方程，固定不动（如果所有系数都为0那是自由变量。）利用这个方程跟别的方程依次加减消元。

此处x为主元，f被保留，在g1中被消去，g1能由f和g线性表出，且g能由f和g1线性表出，h1等等类似。

为了方便，可以暂时忘掉f，只考虑：

但应当记得最后得回来处理 f .