白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河

如下图：

将军饮马

将军从A点的军营出发到河m边饮马，然后去往B点处的军营。请问怎么走，路程最短？

这就是将军饮马的问题。

将军饮马模型及其数学原理

将军饮马模型及其数学原理

数学原理，两句话：

1.轴对称：对应点连线被对称轴垂直平分，如上图，m是AA'的垂直平分线，所以PA=PA'；

2.两点之间线段最短。因为PA+PB=PA'+PB，所以PA+PB的最小值，就相当于A'点到点B的最短距离是多少。

原理应用，如何找到点P：做点A或点B关于直线m的对称点A'或B'，然后连接A'B或AB'与直线m的交点就是点P。

中考考情分析

将军饮马的模型多出现在中考二次函数压轴题第二问中出现，一般难度都不大。

考法主要有以下几种：

1.求取最小值时动点P坐标.（一般用一次函数解析式，求交点坐标）

2.求PA+PB的最小值.

3.求三角形或四边形周长的最小值.

难点：有时会需要先平移，再使用将军饮马模型。

典型模型图解模型一：周长最小

周长最小

解析：

（1）△PMN的周长为PM+MN+NP=P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''共线时，△PMN周长最小；

（2）四边形PMNQ的周长为PM+MN+NQ=P'M+MN+NQ'，当P'、M、N、Q'共线时，四边形PMNQ的周长最小；

模型二：垂线段最短

垂线段最短

解析：PM+MN=P'M+MN，P'N最小（垂线段最短）。

模型三：将军饮马需平移

将军饮马需平移

因为河宽为定值，所以需要将点A先向下平移河宽MN的长度，然后就是典型的将军饮马问题了。

针对模型三，请思考一个问题，如下图：

平移

一样需要将点A向左平移BC得长度到E点，然后就是典型的将军饮马CE+CD最小值问题了。

模型四：将军饮马与隐形圆结合问题

将军饮马与隐圆

线段最值问题，一般都绕不开圆，点到圆距离最短问题。

将军饮马与隐圆

备圆最值问题，可以看《赛老师伴你过寒假：九年级，备中考，“圆”来如此简单（隐圆）》。

中考真题演练

中考真题1

做对称点，求一次函数解析式，求交点坐标。

中考真题2

求周长最小值，将军饮马模型的应用。

中考真题3

与反比例函数结合。

中考真题4

与二次函数结合，这类考查较多，但都很简单。

结束语

赛老师带你过个充实的寒假。

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