函数y=[x]称为取整函数，也称高斯函数。其中不超过实数x的最大整数称为x的整数部分，记作[x]。取整函数是高考中及其重要的题根，以其作为基本命题背景命制高考真题和模拟题，是高考中必考内容之一。该函数被广泛应用于数论，函数绘图和计算机领域。

取整函数的图像

定义：记对应法则为f:x→不超过x的最大整数.

显然，f是定义在全体实数集R的函数，而函数值是离散的。这个函数即为取整函数。为了方便，用[x]表示不超过x的最大整数，所以函数f又可记为f(x)=[x],一般地，有[x]≤x＜[x]+1

常见性质如下：

高斯函数是非常重要的数学概念。它的定义域是连续的,值域却是离散的,高斯函数关联着连续和离散两个方面,因而有其独特的性质和广泛的应用，与微积分有着紧密联系，在计算机编程中，在科学和工程上都有广泛应用。

解决有关高斯函数的问题需要用到多种数学思想方法,其中较为常见的有分类讨论（例如对区间进行划分）、命题转换、数形结合、凑整、估值等等。

以下列举高考中出现的取整函数的实例，有兴趣的同学可以做一下：

1.（多选）（2021•锡山区校级三模）∀x∈R,[x]表示不超过x的最大整数,例如[﹣3.5]＝﹣4,[2.1]＝2.十八世纪,函数f（x）＝[x]被“数学王子”高斯采用,因此得名高斯函数,人们更习惯称之为“取整函数”.则下列命题中是真命题的是（　　）

A.∃x∈R,x≥[x]+1 B.∀x,y∈R,[x]+[y]≤[x+y]

C.∀x∈R,x﹣1＜[x]＜x＜[x]+1 D.函数f（x）＝x﹣[x]的值域为[0,1）

2.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子“的称号,为了纪念数学家高斯,人们把函数y＝[x],x∈R称为高斯函数,其中[x]表示不超过x的最大整数.设{x}＝x﹣[x],则函数f（x）＝2x{x}﹣x﹣1的所有零点之和为（　　）

A.﹣1 B.0 C.1 D.2

3.（2021•丹东一模）函数y＝[x]称为取整函数,也称高斯函数,其中[x]表示不超过实数x的最大整数,例如[1.2]＝1,[﹣1.2]＝﹣2等,该函数被广泛应用于数学和计算机等领域,关于函数y＝[x],正确的结论是（　　）

A.[﹣x]＝﹣[x]﹣1 B.若x1＜x2,则[x1]≤[x2]

C.若0≤x＜1,则[x+0.5]＝[2x] D.[x1+x2]≤[x1]+[x2]

4.（2020秋•辽宁期末）[x]表示不大于x的最大整数,设函数f（x）＝[x]﹣[﹣x]（　　）

A.f（x）为增函数 B.f（x）为奇函数

C.[f（x）]＝f（x） D.f（x+1）﹣f（x）＝2

5.（2016•新课标Ⅱ）Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28，记bn＝[lgan]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg99]＝1．

（Ⅰ）求b1，b11，b101；

（Ⅱ）求数列{bn}的前1000项和．

当然要想真正地把高中数学学明白，甚至完全掌握。需要更加系统的训练，题组训练.高考数学进阶教程，包含30个基本铁律，24个基本模型，28个命题背景，当然还有压轴题的解题方法等，众多思想，方法，系统性地阐述了高考数学的本质，想要快速提分的朋友不妨了解一下