摘 要：数据驱动的结构拓扑优化通过学习大量结构拓扑优化设计过程来建立拓扑优化模型，近年来备受关注。综述了结构拓扑优化技术的发展历程，回顾了结构拓扑优化技术的发展现状和研究进展，将发展历程分为四个阶段，并对每一阶段进行分析和总结；详细介绍了数据驱动的结构拓扑优化技术，按照建模方式的不同将其分类为基于卷积神经网络、支持向量回归、生成对抗网络和仿生算法的拓扑优化技术；结合各方法的研究成果，介绍了数据驱动的结构拓扑优化技术在工程设计中的应用，并对其未来的发展方向进行了展望；指出了数据驱动的结构拓扑优化技术面临的挑战和未来需要解决的问题，为拓扑优化领域未来的发展提供参考和借鉴。

关键词：拓扑优化；机器学习；卷积神经网络；支撑向量回归；生成对抗网络；仿生算法；数据驱动

01 引 言

结构拓扑优化技术是结构优化技术的分支，通过在预定义的设计域内搜索最佳结构形状来优化结构的性能，在满足约束条件的情况下给出最佳性能或最小重量的结构设计［1-3］。结构拓扑优化设计是一个极具挑战性和优化难度的研究领域，但在创新性结构设计方面具有巨大潜力，并且不依赖广泛的先验知识［4］。结构拓扑优化在许多工程领域中得到广泛应用，如汽车、船舶、机械、航空、航天、建筑、桥梁等，也可以应用于微观材料设计［5-8］。因此，结构拓扑优化技术受到学界的广泛关注和研究，也有学者对结构拓扑优化技术的发展历程进行了介绍和评价［1-3， 9-11］。本文将在此基础上，回顾最新的结构拓扑优化算法，梳理结构拓扑优化技术的发展历程。

随着机器学习和智能算法技术的发展，数据驱动的结构拓扑优化技术也逐渐崭露头角，它利用大量的数据和机器学习算法来自动地改进结构的拓扑形状［4］。在结构拓扑优化领域中，机器学习有许多优势［12-15］，传统的拓扑优化方法通常需要进行大量的计算，而机器学习可以通过学习先前的模拟结果，从而在更少的计算量下实现优化。数据驱动技术在结构拓扑优化设计领域的应用，为解决复杂优化问题提供了一种新的思路，同时也为研究人员提供了一个全新的视角来了解和应用机器学习技术来解决结构拓扑优化问题。

本文首先回顾了结构拓扑优化技术的发展历程，给出每一发展阶段研究人员所提出的拓扑优化关键技术；其次，对卷积神经网络、支持向量回归、生成对抗网络和仿生算法等数据驱动技术在结构拓扑优化领域的应用进行综述；最后，对全文进行了总结和展望。

02 结构拓扑优化技术发展历程

结构拓扑优化技术从采用传统优化算法逐步发展到采用数据驱动优化算法建立拓扑优化模型的过程，应用领域也从单一发展到了多元化，其未来的发展将更加多元化和智能化。在数据驱动的拓扑优化中，如何提高算法的可解释性，如何保证优化后的结构符合实际工程需求，是需要解决的技术问题。研究人员需要在本领域内不断探索和创新，以满足工程实践的需求。本节将结构拓扑优化的发展历程分为四个阶段：初步探索阶段，微观离散阶段，边界演化阶段和数据驱动阶段，并对每一个发展节点衍生出的拓扑优化方法进行总结。

2.1初步探索阶段

1904年，Michell桁架理论［16］的首次提出标志着研究人员开始在结构拓扑优化设计领域进行初步探索，与该理论相关的算法也被统称为Michell准则，受限于优化的复杂性以及计算能力，在连续体结构拓扑优化中并没有得到应用。

1964年，数值方法被引入拓扑优化领域，Dorn等［17］通过离散化的方法将结构转换为由单元组成的基结构模型，然后使用数学优化方法来寻找最佳的基结构模型。这种方法称为基结构法（Ground Structure Method），可以使结构在给定的约束条件和载荷下优化得到最优的结构性能，同时还可以显著减少设计时间和成本。拓扑优化的研究开始越来越受到研究人员的关注和重视。

拓扑优化方法发展的初步探索阶段，研究人员对结构拓扑优化进行了研究，从最初对桁架结构的优化，再到基结构法的提出，标志着学者们开始对实体的微观结构产生兴趣。Michell桁架理论与基结构法的提出，推动了结构设计的创新与发展，为工程设计领域提供了新思路和新方法，帮助工程师寻找到更加创新、高效的结构形式。随着数学优化方法的提出和不断改进，以及计算机技术的蓬勃发展，拓扑优化的研究工作日益受到研究人员的重视，基于有限单元尺度的拓扑优化方法也相继提出。

2.2微观离散阶段

1988年，Bendsoe等［18］将设计区域划分为具有不同孔洞的微小结构，用这些孔洞实现对连续体结构的拓扑优化，微结构模型如图1所示。这一划分方法称为均匀化理论，该理论的提出将结构拓扑优化的研究推向了一个新的高度，拓扑优化不再依赖于预先确定的基础结构，而是通过将设计区域分解为微结构来实现拓扑优化。这种方法可以用来寻找性能更好的新材料和结构，也可以用来改进现有的结构。均匀化理论为结构拓扑优化提供了一种更灵活、更有效的方法。

图1 均匀化理论中的两种微结构[18]

1993年，Xie等［19］提出了反复迭代静力学平衡方程并逐步删除低应力材料单元，使结构趋于最优的渐进结构优化法（ESO）。Xie于1996年提出了改进的ESO方法［20］，在原有方法的基础上提升了算法的高效性和实用性。但是ESO方法的收敛性尚未被证明［21］。尽管如此，ESO方法仍然是拓扑优化领域中的一个重要方法，在工程领域中得到了应用［22-23］。

1995年，Bendsoe［24］建立了结构网格单元密度与材料弹性模量的关系，提出了实体各向同性材料惩罚函数（SIMP）方法，这种方法建立了网格单元与材料密度和弹性模量的关系，设计变量数量直接取决于网格的精细程度，因此又称为变密度法。由于SIMP方法实现过程清晰易懂，具有很好的可扩展性，在拓扑优化领域得到了广泛的应用。许多商业有限元软件都具备拓扑优化功能，采用SIMP方法作为拓扑优化的基本方法，具有收敛性好、可靠性高、通用性强等特点。SIMP方法对悬臂梁进行拓扑优化如图2所示。图2（a）为长方形的悬臂梁设计域，设计域左侧所有节点固定，右下方的节点受单位力；图2（b）为SIMP法的优化结果。

图2 SIMP方法对悬臂梁进行拓扑优化[25]

1999年，在Bendsoe与Sigmund［26］的不懈努力下，通过数学推导使得SIMP方法物理意义的存在性得以证明，这也让SIMP方法更具有说服力，使得该方法进一步在结构拓扑优化领域推广。

这一阶段的拓扑优化设计进入了微观离散阶段，研究人员从微观角度出发，将材料分布看作离散变量，通过对离散变量的优化来实现结构的优化设计。这些方法可以被归类为变密度法及其变形，基本思想是认为拓扑优化问题是一个有限空间中单元密度的优化问题，即如何通过离散变量来表示材料的分布，以实现给定约束条件下结构拓扑优化设计。变密度法及其变形方法的提出，使得拓扑优化能够更好地适应不同工况和约束条件下的实际工程问题，推动了结构设计的创新和效率提升，为解决复杂的拓扑优化问题提供了更多工具与方法，对于提高结构设计的性能和可行性具有积极意义。

2.3边界演化阶段

2000年，Sethian等［27］提出用于动态界面追踪的水平集（Level-set）方法。随着研究的深入，水平集方法被应用于结构拓扑优化领域。2003年，Wang等［28］将水平集方法用于求解拓扑优化设计，实体的边界被描述为水平集函数的零水平集，通过求解Jacobi扩散方程完成每一次迭代，进而优化出满足约束条件且结构性能更好的结构拓扑形状，Level-set函数对结构实体的描述如图3所示。

图3 Level-set函数的拓扑结构描述[29]

2007年，Wang等［30］提出了扩展Level-set方法用于解决形状优化和拓扑优化问题，将传统的水平集方法与径向基函数（RBF）相结合，扩展为一种精度和收敛速度对初始设计不敏感的拓扑优化方法，从而放宽了对时间和空间离散化的严格约束，迅速收敛到最优拓扑结构，具有广泛的适用性和高效性。

2014年，郭旭等［31］提出了一种基于可移动变形组件（MMC）的拓扑优化方法。该团队在拓扑优化领域采用显式的方式描述结构边界，并发表了大量研究成果［31-36］。MMC方法不同于SIMP方法和Level-set方法，而是引入了几个可变形组件，组件用水平集函数描述，水平集函数包含了组件的长度、宽度、厚度和倾斜角等几何参数，通过对组件的形状进行优化得到最优拓扑结构，组件描述如图4所示，将结构拓扑形状分为有限个组件，通过组件在设计域中的移动和变形寻找最优拓扑结构。该方法具有较高的自由度和适应性，能够适应复杂的非凸设计域，并且可以通过合理的设计来加速收敛速度。

图4 基于MMC方法的拓扑优化基本思想[32]

拓扑优化方法发展的第三阶段，学者们开始从结构边界演化的角度出发，将材料的形状和边界用水平集函数表示，设计变量不再是离散的网格，而是带有几何信息的水平集函数，通过对水平集函数的优化来实现结构的优化设计。这类方法可以被归类为边界演化方法，基本思想是使用水平集函数描述结构形状，将优化变量从材料的本构模型中独立出来，优化变量仅用结构的几何特征表示，实现给定约束条件下结构拓扑优化设计。由于设计变量独立于网格数量，即使划分较为精细的网格，也不会对算法的收敛速度产生很大影响，算法效率相较于变密度法有了很大提升。Level-set法与MMC法的提出，丰富了拓扑优化领域，使得结构设计能够更好地适应不同问题需求，提高了结构设计的灵活性，使得工程师能够处理多尺度的结构形状演化，促进了拓扑优化在工程领域的应用。

2.4数据驱动阶段

随着计算机技术的发展，数据驱动方法正在成为拓扑优化领域的重要技术。数据驱动技术在拓扑优化领域的应用主要集中在提高拓扑优化的收敛速度、实现非迭代拓扑优化、生成式设计探索、搜索全局最优解等方面［37］。

2017年，Sosnovik等［38］ 首次将卷积神经网络的方法与SIMP方法相结合，加速了拓扑优化的收敛，通过学习迭代方法的中间结果与最终拓扑结构之间的映射关系，可以提前停止SIMP方法的迭代，显著降低收敛时间。

2018年，Yu等［39］首次将生成对抗网络技术引入到拓扑优化，先采用卷积神经网络生成低分辨率的拓扑优化数据集，再利用生成对抗网络提高分辨率，在极短时间内预测最优拓扑结构。同年，Banga等［40］首次将卷积神经网络应用于三维结构的拓扑优化，采用三维编解码器卷积神经网络加速三维拓扑优化收敛速度。

SIMP法是目前发展最迅速、应用最广泛的拓扑优化方法之一，学者们将数据驱动技术与SIMP法结合并在提高拓扑优化的收敛速度方面取得了研究成果［38， 40-43］。这类数据驱动技术的应用，在保证拓扑结构精度的同时加速了拓扑优化收敛过程，减少了拓扑优化的计算成本。

非迭代拓扑优化设计定义为设计域无需迭代过程，通过载荷与边界条件立即预测满足约束条件的最优拓扑结构。此类方法产生的拓扑结构往往无法达到最优目标性能，学者们也针对优化精度低的问题进行研究并陆续取得了一些研究成果。2018年，Rawat等［44］利用特定载荷和边界条件下获得的二维优化结果为训练数据集，采用生成对抗网络技术实时预测最优拓扑结构，同时预测生成拓扑结构的优化条件。在2019年的研究中［45］，这种实时预测方法被扩展到三维设计域。

拓扑优化的设计变量更新方法一般为最优准则法［25］和移动渐近线法［46］，这两种方法都是基于梯度的方法，虽然收敛速度较快，但是最优拓扑结构有可能陷入局部最优解。基于仿生算法的拓扑优化方法是非梯度的算法，在全部设计域内进行搜索从而获得全局最优的拓扑结构。2021年，丁友［47］等提出一种分布拓扑优化设计方法，第一步采用基结构法和均匀化法得到设计域内的拓扑信息，第二步采用进化算法完成整体拓扑结构的生成。

生成式设计探索是为了根据载荷和边界条件快速准确地生成新的最优拓扑结构。Kudyshev等［48］采用对抗性自编码器和启发式优化框架提高了复杂拓扑优化的搜索效率，并根据优化模型的物理原理提出启发式的拓扑优化方法，通过“设计直觉”生成全局最优拓扑结构。Jang等［49］提出一种基于强化学习的生成式拓扑优化设计，通过最大化设计多样性的奖励函数来找到多样性的设计参数组合。

利用数据驱动技术对拓扑优化中的设计变量进行预测，在降低计算成本的同时还可以进一步提高优化效率；利用数据驱动技术对材料性能进行建模，可以更加准确地预测材料的性能，从而指导拓扑优化的设计过程。数据驱动技术可以帮助研究人员设计出更加复杂的拓扑结构，这些结构是直观想象无法得到的，但是可以通过机器学习算法从数据中学习得到。此外，机器学习还可以将大量的设计变量和限制条件抽象化，降低相关拓扑优化模型对初始设计依赖，为拓扑优化问题提供更加灵活的解决方案。因此，机器学习在拓扑优化领域的应用，可以提高优化效率、创造新的设计方案，并且有助于解决传统方法难以解决的问题。总体来说，机器学习在结构拓扑优化领域中的应用可以帮助工程师和设计师快速、高效地设计出符合要求的结构，同时减少计算成本和时间。

结构拓扑优化方法发展到了数据驱动阶段，研究者们将数据驱动技术引入结构拓扑优化领域，变密度法和边界演化方法都可以与机器学习技术和仿生算法技术结合，建立新的拓扑优化模型，以进一步提高结构拓扑优化结果的准确性和有效率。数据驱动方法为拓扑优化领域提供了更加智能和精确的工具，有助于工程设计更加符合实际要求、更高效和更可靠，并且为工程问题提供启发式、创新式的解决方案。

03 数据驱动的结构拓扑优化技术介绍

数据驱动的结构拓扑优化设计是指使用机器学习技术和智能算法对已有数据进行分析和学习，得到对未知数据进行预测的模型，从而进行拓扑优化设计［50］。设计过程需要进行数据采集和处理，收集大量的结构设计数据并将其处理为适应机器学习算法的输入输出格式，满足机器学习模型的训练需求。

本文根据建模方式的不同，将数据驱动的结构拓扑优化方法分类为基于卷积神经网络、基于支持向量回归、基于生成对抗网络和基于仿生算法等类型［4， 9-11］，这些方法可以应用于不同的领域，如航空航天、建筑设计、机械制造等。各类数据驱动方法并不是完全独立的，可以相互结合和补充，例如，基于卷积神经网络的拓扑优化方法可以与元模型方法相结合［51］，使用元模型来加速卷积神经网络的训练和优化过程，提高算法效率和准确性。虽然数据驱动的方法具有计算效率高、自动化程度高等优势，但也需要仔细考虑所得出的最优拓扑结构是否符合实际工程需求。

3.1基于卷积神经网络的拓扑优化技术

卷积神经网络常用于处理具有网格结构的数据，例如图像、语音和文本数据等，属于深度学习模型的一种［52］。训练神经网络的策略会对神经网络的性能产生影响，性能好的网格可以在保证精度的同时，提升计算收敛速度。

卷积神经网络通常基于SIMP拓扑优化方法，通过替代SIMP法中的物理过程，快速获得准确的拓扑优化结果。传统SIMP法数学模型如式（1）所示：

卷积神经网络的引入，可以在拓扑优化的中间阶段停止拓扑优化的求解，转而采用神经网络预测最终的最优网格结构。卷积神经网络学习网格的密度分布和密度变化，还可以从问题的力和边界条件中学习。除了中间密度分布数据，还需提供结构在相邻迭代次数间变化细节的梯度信息，帮助网络理解网格密度变化趋势，从而得到能够准确预测最优结构的神经网络模型。神经网络通道的数学描述如表1所示，表1中第一列为拓扑优化参数，第二列为神经网络通道的数学描述，x、y、z表示基于拉格朗日描述的网格单元坐标。

▼ 表1 神经网络通道的数学描述

岳天乐［4］基于有限元卷积神经网络，构建一个输入结构初始边界和载荷等信息到拓扑优化结构构型之间的映射关系，由于卷积神经网络具有高效、自适应的特点，使用卷积神经网络模型代替原始模型可以大幅度减少计算时间，减小原始模型由于几何形状、边界条件等所带来的误差，并且降低了一个数量级的计算耗时。

Chi等［53］使用卷积神经网络对一组基准结构进行训练，以预测给定设计域的合适拓扑形状。许多大规模问题利用现有方法尚且无法解决，而采用卷积神经网络训练出的模型则可以解决这些问题，同时该方法还可以应用于不同场景的物理问题。研究结果表明，利用卷积神经网络建立的拓扑优化模型在速度和准确性方面优于现有的拓扑优化方法，并且可以在不同的问题中推广使用。

Xue等［54］提出了一种基于卷积神经网络的高效、高分辨率拓扑优化方法，该方法可以解决传统拓扑优化方法计算量大、分辨率低等问题，且实验结果表明其具有更高的精度和更低的计算成本，能够有效地解决大规模优化问题，该方法还引入了自适应学习率调整和正则化等技术，以进一步提高拓扑优化的效率和精度。

图5 卷积神经网络模型[11]

Seo［55］基于卷积神经网络提出了一种新的结构拓扑优化方法，其创新之处在于将传统拓扑优化方法中的网格离散化转化为基于卷积神经网络的图像处理，提高了计算效率和优化精度，该方法还能够处理带有约束条件的优化问题，扩展了应用范围，实验结果表明该方法可以有效地进行大规模的结构拓扑优化设计。

卷积神经网络的主要优点在于它可以快速准确地生成高效的拓扑优化结构，相较于传统的拓扑优化方法具有更高的计算效率和更好的优化结果。通过设计Mobile-U-Net卷积神经网络模型，构建了结构初始边界和载荷等信息到拓扑优化结构构型之间的映射关系，并将该方法分别应用于多相材料结构、多尺度结构、可变设计域三维结构的拓扑优化设计［56］。

基于卷积神经网络的拓扑优化技术能够快速寻找到适用于特定任务的有效网络结构，但是拓扑优化仍然是一个复杂的问题。卷积神经网络的黑盒特性让研究人员无法解释其内部工作原理；拓扑优化结果也可能只适用于特定的工况，在多工况的工作环境下拓扑结构的性能不如通用结构；训练神经网络模型需要大量数据，对于一些模型较为复杂的拓扑优化问题，需要耗费大量的计算资源，若数据样本不足可能会导致模型的泛化性能不佳［57］。

3.2基于支持向量回归的拓扑优化技术

支持向量回归算法是一种非线性回归算法，通过在训练数据集所构成的空间中寻找最优的超平面，使得设计空间中所有点到该超平面的距离最小。与传统的回归算法相比，支持向量回归的主要优势在于其对异常值的鲁棒性，通过设置一个容忍度参数来控制不同程度的误差，从而避免异常值对回归结果的影响。此外，支持向量回归算法可以应用于高维数据集，可以有效地避免维数灾难问题。

支持向量回归常用于建立结构拓扑优化的高效计算模型，利用支持向量回归模型学习结构拓扑形状与性能之间的关系，并根据预测结果进行结构的拓扑优化。该方法通过将结构的设计变量作为输入，将结构的性能指标作为输出，利用支持向量回归模型来拟合结构的拓扑形状与性能之间的关系，并预测最优的结构拓扑形状。通过最小化回归模型的未知向量系数，可以得到输入与输出之间的响应关系，保证拓扑优化的预测点位于回归模型的最优超平面，优化数学模型如式（2）所示：

（2）

Lei等［51］基于可移动变形组件的显式拓扑优化方法生成训练集，并采用支持向量回归和K邻近模型建立设计参数与外部负载之间的映射关系。与现有方法相比，该方法不仅可以大大减少训练数据和参数空间的维度，还具有学习建立与各种外部负载相对应的最优拓扑结构的能力，作者利用数值算例证明了所提方法的有效性和优点。

Rochefort等［58］利用可移动变形组件法的拓扑优化框架来训练结构拓扑优化模型，所训练的模型独立于结构分析的有限元网格模型，直接生成几何设计变量，利用支持向量回归方法节省36.84%的计算时间，并且不会牺牲所获得结构的机械性能。

Keshtegar等［59］针对可靠性鲁棒迭代公式和结构拓扑优化，提出了一种混合可靠性拓扑优化方法，将支持向量回归方法应用于预测可靠性拓扑优化模型的概率约束，减少拓扑优化循环的计算量。

支持向量回归能够适应复杂的拓扑结构与性能之间的关系，并且对于小样本数据具有较好的表现。然而支持向量回归的性能依赖于一些关键模型超参数，如核函数类型、惩罚参数等，选择适当的超参数对于模型性能至关重要，但同时也增加了调参难度；支持向量回归的计算复杂度随着数据集规模的增加而增加，尤其是在高维空间中，因此在处理大规模网络时需要大量的计算资源［59］。

3.3基于生成对抗网络的拓扑优化技术

基于生成对抗网络的拓扑优化技术是一种半监督学习技术，利用生成对抗网络来生成最优的结构拓扑形状。该技术将结构输入到生成器网络中，生成器网络学习结构拓扑形状与性能之间的关系，并生成最优的结构拓扑形状。同时，该方法也使用判别器网络来评估生成器网络生成的结构拓扑形状的质量，从而不断地优化生成器网络，使其生成结构性能更优的结构拓扑形状［60］。

生成对抗网络中最重要的就是模型训练，模型训练依赖于生成器和判别器模型，两个模型通过不断生成和判别数据，使得模型不断优化，达到平衡状态并产生高质量的设计结果。训练过程通常涉及到反向传播算法和梯度下降算法等方法，用于优化模型的参数并最小化损失函数。在基于生成对抗网络的拓扑优化方法中，损失函数可以表示为式（3）、（4）和（5），式（6）计算生成器体积分数的绝对误差，式（7）表示生成器模型。

Nie等［60］基于生成对抗网络将位移、载荷边界条件和目标体积分数作为输入，并计算在未优化域上的密集初始场来增强输入，该方法能够显著降低未知边界条件的测试误差。

反向传播算法是模型训练中最为常用的算法之一［4］，用于计算网络中每个参数的梯度，从而进行模型训练。梯度下降算法用于在函数的参数空间中寻找损失函数的局部最小值，在每次迭代中，通过计算损失函数对参数的梯度，将参数向着梯度方向更新一个给定步长，直到达到局部最小值。梯度下降算法可能会陷入局部最小值，而无法找到全局最小值［4］。在实际应用中，需要通过多次运行算法来寻找更好的局部最小值。

生成对抗网络训练出的模型存在一些问题，比如模型在训练集上表现得很好，但是在测试集和验证集上的表现却不尽如人意，在结构拓扑优化中往往难以获取最优拓扑结构［56］。这种现象称为过拟合，通常是因为模型过于复杂，学习到了训练集中的噪声或细节，而忽略了真正有用的信息［61］。

此外还有可能出现欠拟合现象，模型在测试集和验证集中表现效果欠佳，这种现象通常是因为模型过于简单，无法捕捉数据中的复杂模式，进而无法给出正确的结果。数据驱动类的方法普遍存在过拟合和欠拟合问题，过拟合和欠拟合问题的程度也取决于具体的研究问题和应用背景。在基于生成对抗网络方法的拓扑优化问题中，生成器和判别器共同学习并生成数据分布，由于拓扑优化的复杂性和设计参数众多，更容易出现过拟合和欠拟合问题。因此，需要采用合适的技术来解决这些问题，例如交叉验证、正则化等。

基于生成对抗网络的拓扑优化模型具有强大的生成和优化能力，评估和筛选网络模型中的代表性节点可以有效缓解应力集中现象［62］。然而基于生成对抗网络优化得出的拓扑结构往往更加复杂，难以理解某些结构存在的意义以及这些结构如何影响整体结构的性能；生成对抗网络所生成的数据是随机生成的，不具备对照性，同时会选择生成较为容易的样本［63］。

3.4基于仿生算法的拓扑优化技术

仿生算法是一种模拟生物进化、行为规律的优化方法，遗传算法、粒子群算法、蚁群算法等都是一些常用的仿生算法。仿生算法可以模拟物种进化的过程，通过选择、交叉和变异等操作，不断改进当前的结构设计。与传统的拓扑优化技术相比，基于仿生算法的拓扑优化技术能够更全面地探索设计空间，避免陷入局部最优解。

本文以蚁群算法为例，介绍仿生算法在拓扑优化中的应用。蚁群算法常用来解决旅行商问题，蚂蚁在旅行商问题中扮演推销员的角色，寻找以最小总距离覆盖全部城市的路径。第图片个蚂蚁从第图片个城市前往第图片个城市的概率如式（8）所示：

完成每一次旅行后，信息素由式（9）进行更新：

Xue等［64］提出了一种改进的蚁群算法。不容易收敛一直是传统蚁群算法存在的问题，即使花费较大时间成本完成收敛，也很容易陷入局部最优解，为了解决这一问题，作者通过使用加权因子策略和局部最优重置策略，改进了传统蚁群算法，大大提升了算法的收敛速度和可靠性。

Gu等［65］介绍了一种基于机器学习算法和遗传算法的全新复合材料设计方法。研究人员利用遗传算法和人工神经网络模型，对材料的力学性能进行预测，并通过模拟优化技术优化材料的设计。通过这种方法成功地设计出了一种具有良好力学性能的新型复合材料，证明了该方法在材料设计中的可行性和有效性。

Kobayashi等［66］研究了进化算法在拓扑优化领域的应用，这种方法更适用于具有多种尺度和模式化最优拓扑结构的问题，从优化效率的角度看，该方法的固有并行性与即将到来的大规模并行体系结构非常匹配，具有巨大的研究潜力。

武岳等［67］基于改进萤火虫算法对离散杆系结构进行了拓扑优化，引入改进吸引力法和线性吸引力法，在保证寻优效果的前提下，加快了算法的收敛速度，通过桁架结构的拓扑优化算例证明了所提出算法的准确性和合理性。

基于仿生算法的拓扑优化技术受到了生物系统中生物个体进化和适应环境的启发，通过模拟自然选择的过程，在搜索空间中全局寻找解，处理拓扑优化问题时具有较强的鲁棒性。此外，仿生算法也存在诸多挑战，算法参数例如交叉率、遗传率的选择对拓扑优化收敛和性能至关重要，计算复杂度增加导致大规模网格时计算效率低下等问题，仿生算法并不适用于所有类型的拓扑优化问题，在较为简单明确的设计域问题上，采用梯度算法更具优势［68］。

3.5关键技术总结

在拓扑优化领域，卷积神经网络、生成对抗网络、支持向量回归和仿生算法都在不同场景与任务中得以应用，但各类方法都存在其优势和局限性。卷积神经网络受益于出色的图像处理能力，能够有效学习结构中的多尺度特征，但训练深层的卷积神经网络模型需要大量计算资源和时间，并且无法解释内部工作原理；生成对抗网络可以启发式地生成拓扑结构，能够提供许多新颖的结构构型，但训练过程的数值不稳定性更加显著，更容易出现过拟合和欠拟合等数据驱动方法的共性问题；支持向量回归模型相对简单，其结果较容易解释，并且在小样本情况下表现很好，然而在处理高维、复杂数据集上的泛化能力较弱；仿生算法具有全局搜索能力，可以在设计域内寻找全局最优解，但算法参数的选择对收敛性和性能影响较大，对于高维问题需要耗费大量计算成本。

从横向对比的角度出发，卷积神经网络和生成对抗网络的计算复杂度更高并且训练过程更加耗时，而支持向量回归和仿生算法则更加高效；在结果的鲁棒性方面，由于仿生算法寻找的是全局最优解，因此鲁棒性要优于另外三种方法，并且对于不同边界条件的问题都能提供相对可靠的解释；从复杂问题的适应性方面看，卷积神经网络和生成对抗网络能够适应复杂结构和多尺度问题，而支持向量回归则更适用于简单的结构设计域。综合而言，若要设计新颖的结构构型，可以选用生成对抗网络方法帮助进行设计空间的探索；若追求设计结果的鲁棒性和可解释性，则选择支持向量回归和仿生算法；若考虑加速拓扑优化收敛过程，则采用卷积神经网络方法更为合适。

04 结论

本文主要讨论数据驱动的结构拓扑优化技术，并回顾了结构拓扑优化技术的发展历程。从卷积神经网络、支持向量回归、生成对抗网络和仿生算法等技术类型出发，对数据驱动的结构拓扑优化技术进行了综述，并总结和分析了其研究现状和技术难点，可以得出以下结论：

（1）数据驱动方法需要大量的数据支持。有效地采集和处理数据是一个关键难题，需要解决数据噪声、数据缺失和数据量不足等问题。

（2）数据驱动的方法依赖于机器学习和人工智能算法，通常具有较高的计算复杂度。算法的准确性和稳定性直接影响优化结果的可靠性和有效性。

（3）结构拓扑优化的最终目的是为了满足实际应用需求，因此需要对所得出的最优拓扑结构进行工程验证，确保其符合实际需求。

在未来的研究工作中，研究人员还需对数据驱动方法所建立的结构拓扑优化模型进一步分析论证，可从提高模型的可解释性和提高结构设计结果的工程实用性入手，全面发挥数据驱动技术在结构拓扑优化设计领域的优势，得到更加可靠的结构设计结果。

本文来源：《战术导弹技术》2023年第6期 作者：白文灿 刘莉等