表面电荷反演计算是表面电荷密度分布测量的重要环节。武汉大学电气与自动化学院的毛诗壹、潘成、罗毅、邱宇杰、唐炬，在2023年第7期《电工技术学报》上撰文，针对盆式或锥形绝缘子这类平移变化系统，引入迭代正则化方法，提出了基于Lanczos双对角化与Tikhonov正则化算法混合方法的表面电荷反演算法。

研究者通过Lanczos双对角化将电位-电荷之间的矩阵运算投影至维数更小的子空间后，应用Tikhonov正则化求解子空间投影最小二乘问题，大大减小了矩阵的计算量；同时引入自适应加权广义交叉验证（A-WGCV）方法选择正则化参数；结合仿真算例讨论了该算法的实现过程以及计算精度，并与视在电荷法及维纳滤波法进行了对比；最后，通过粉尘图法验证了该算法的准确性和可靠性，并结合粉尘图像和算法反演两种方法获取了针电极下不同电压等级下的电荷分布。

不同于交流输电系统，直流输电系统中单极性直流电场的方向不随时间变化，使得电场中的自由电荷沿电场线方向定向移动并积聚在绝缘子表面，造成局部电场畸变，严重时甚至会引发绝缘子沿面闪络，大大降低绝缘子的耐受性能。为了抑制直流电场下绝缘子表面电荷积聚，提高直流电气设备的绝缘性能，有必要弄清楚直流电场下电荷的聚散行为及形成机制。因此，首先要对绝缘子表面电荷分布进行准确的测量。

目前表面电荷分布的主要测量手段有“粉尘图”法、基于Pockels效应的光学测量法及无源/有源静电探头法。其中，有源静电探头法因其测量精度高、稳定性高和对测量对象要求较低的优势，是目前应用最为广泛的一种方法。但是，静电探头法只能直接测量绝缘子表面的电位分布，要得到电荷密度分布，还需要对所测的表面电位分布与电荷密度分布之间的关系进行推演，即进行表面电荷的反演计算。

D.K. Davies最初于1967年提出静电探头法的同时也提出了线性标度法对表面电荷进行换算，认为探头所测电压与待测表面实际电荷密度分布呈线性关系。而事实上，对于一个测量点数为N的测量系统，每一个微元内的电位均是由绝缘子表面电荷在该微元内的线性叠加所得。可见，电位与电荷之间并不是简单的线性关系，而需要通过电位-电荷转换矩阵H来进行表达。

基于此，λ函数法、φ函数法以及视在电荷法被提出。但是，这些方法均需要进行大规模的矩阵运算或对矩阵进行直接求逆，不仅消耗大量的计算资源且计算精度较差。此外，研究人员通常会通过增加测量点数来提高表面电荷的测量精度，这将导致电位-电荷转换矩阵具有非常高的维数（N×N）。而大规模矩阵的求逆往往伴随着不适定问题，即使转换矩阵或电位矩阵中存在着很小的扰动，在反演计算中也会引入较大的误差。

针对这一问题，研究者们采用二维傅里叶变换将空间域中向量的卷积运算转换为频域中的乘积运算，并构建维纳滤波器抑制噪声干扰，计算表面电荷密度分布。潘子君等在结合二维傅里叶变换的基础上引入了约束最小二乘方滤波器来抑制噪声干扰，并通过迭代手段自适应获取滤波系数的最优解。

这些方法有效地改善了表面电荷反演计算的精度和稳定性，但仅适用于平板或圆柱形绝缘子这类“平移不变系统”。而盆式或锥形绝缘子属于“平移变化系统”，激励施加的位置会影响该系统的响应，因此对于这类“平移变化系统”，上述方法不再适用。

针对这一问题，研究人员采用基于标准Tikhonov正则化的维纳滤波器对噪声进行抑制，减弱矩阵的病态性。但维纳滤波器的滤波系数需要通过预先实验测定噪声和信号的功率密度谱来获得，而在实际情况中它们很难通过实验得到。

因此，有研究者提出通过点扩散函数（PSF）理论，在一个微元内设置单位电荷后，仿真计算不同正则化参数下该微元内表面电荷的反演结果，借助Gaussian分布拟合及傅里叶变换得到电荷在空间频域下的分布特性后，再根据幅频特性的截止频率选择正则化参数，由此得到在协方差矩阵HTH最大特征值θmax的0.03%～1%之间的常数均可作为正则化参数的值。

但为了获取更好的表面电荷反演结果，该方法在实际使用时往往需要人为地多次调节参数，选择最优的空间分辨率，其参数选择标准及反演精度都难以控制。此外，标准吉洪诺夫正则化方法对于解决较大规模的不适定问题而言效率较低，而常用的解决大规模不适定问题的迭代正则化方法在实际应用中由于迭代终点的不精确选择，往往存在半收敛问题。因此，有必要对正则化方法进行改进，研究正则化参数的自适应选择，提高算法效率及精度。

综上所述，武汉大学电气与自动化学院的研究人员考虑迭代方法和Tikhonov方法的优点，引入迭代正则化技术，提出了基于Lanczos双对角化（LBD）和Tikhonov正则化算法混合方法（简称混合Lanczos-Tikhonvo算法）的绝缘子表面电荷反演算法，并采用自适应加权广义交叉验证法（A-WGCV）自动选择正则化参数，完成绝缘子表面电荷密度分布反演。

图1 反演计算流程

本次研究引入混合Lanczos-Tikhonov算法解决了电荷-电位转换矩阵的不适定问题，采用A-WGCV方法选择正则化参数，自适应地求取权重系数ω，有效地减小了矩阵计算量，提高了表面电荷反演计算的效率。

研究者指出，本算法对比视在电荷法在有较高噪声水平时明显具有更高的精度。而采用PSF方法选择正则化参数时，基于维纳滤波的反演算法在较高噪声水平下的结果出现了更严重的失真。视在电荷法和维纳滤波法在反演效果、SNR等方面的表现均在一定程度上弱于本算法。

他们结合粉尘图法的实验结果对比发现，视在电荷法的反演结果中存在大量噪声，维纳滤波法可以还原电荷分布的大致形状，但图像中寄生纹波更重，边缘模糊。两种方法的反演效果与粉尘图像的吻合度均低于本算法。

此外，研究者利用针电极放电，结合粉尘图法和算法反演结果发现，随着施加电压的升高，针电极正对区域积聚的电荷发生极性反转，原本的负极性“圆斑”变为“月牙状”包围正极性电荷斑。粉尘图像与反演结果吻合良好，进一步证明了本算法的有效性。

本工作成果发表在2023年第7期《电工技术学报》，论文标题为“基于混合Lanczos-Tikhonov算法的绝缘子表面电荷反演计算”。本课题得到国家自然科学基金联合基金资助项目的支持。