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有理数

易错清单

1. 用科学记数法表示较大或较小的数时指数 n 的确定.

【例 1】2013 年,我市以保障和改善民生为重点的"十件实事"全

面完成,财政保障民生支出达 74 亿元,占公共财政预算支出的 75%,数据 74 亿元用科学记数

法表示为( ).

A. 74×108元 B. 7.4×108元

C. 7.4×109元 D. 0.74×1010元

【解析】 ①本题考查了科学记数法的相关知识.一些较大的数,可以用 a×10n的形式

来表示,其中 1≤a<10,n 是所表示的数的整数位数减 1. ②a×10n中 n 所表示的数容易搞

错.74 亿元=7.4×109元.

【答案】 C

2. 实数的运算,要先弄清楚按怎样的顺序进行,要注意负指数幂、零次幂和三角函数等

在算式中的出现.

【解析】 本题考查实数的运算法则、方法、技巧.运算时要认真审题,确定符号,明确

运算顺序.本题易错点有三处:①不能正确理解算术平方根、负指数幂、绝对值的意义;②不

能正确确定符号;③把三角函数值记错.

3. 实数计算中整体思想的运用.

【例 3】 (2014·甘肃兰州)为了求 1+2+22+23+…+2100 的值,可令 S=1+2+22+23+…+2100,则

2S=2+22+23+24+…+2101,因此2S-S=2101-1,所以S=2101-1,即1+2+22+23+…+2100=2101-1,仿照以上推

理计算 1+3+32+33+…+32014的值是 .

【解析】 根据等式的性质,可得和的 3 倍,根据两式相减,可得和的 2 倍,根据等式的性

质,可得答案.

设 M=1+3+32+33+…+32014,①

则 3M=3+32+33+…+32015.②

②-①得 2M=32015-1,

RM

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两边都除以 2,得

名师点拨

1. 能记住有理数、数轴、相反数、倒数、绝对值等概念,运用概念进行判断.

2. 能说明任意两个有理数之间的大小关系.

3. 能利用有理数运算法则熟练进行有理数的混合运算.

4. 利用科学记数法表示当下热点问题.

5. 能解释实数与数轴的一一对应关系.

6. 能利用估算思想估算一个无理数的大致大小.

7. 能利用运算律快速进行实数的运算.

提分策略

1. 实数的运算.

(1)在进行实数的混合运算时,首先要明确与实数有关的概念、性质、运算法则和运算律,

要弄清按怎样的运算顺序进行.中考中常常把绝对值、锐角三角函数、二次根式结合在一起

考查.

(2)要注意零指数幂和负指数幂的意义.负指数幂的运算:a-p=(a≠0,且 p 是正整数),零

指数幂的运算:a0=1(a≠0).

【例 1】 计算:+(-1)0+2×(-3).

【解析】 根据零指数幂:a0=1(a≠0),以及负整数指数幂运算法则得出即可.

【答案】 原式=5+1-6=0.

2. 实数的大小比较.

两个实数的大小比较方法有:(1)正数大于零,负数小于零;(2)利用数轴;(3)差值比较

法;(4)商值比较法;(5)倒数法;(6)取特殊值法;(7)计算器比较法等.

3. 探索实数中的规律.

关于数式规律性问题的一般解题思路:(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较;(2)根据

观察猜想、归纳出一般规律;(3)用得到的规律去解决其他问题.

对数式进行观察的角度及方法:(1)横向观察:看等号左右两边什么不变,什么在变,以及

变化的数字或式子间的关系;(2)纵向观察:将连续的几个式子上下对齐,观察上下对应位置

的式子什么不变,什么在变,以及变化的数字或式子间的关系.

【例 3】 观察下列等式:

请解答下列问题:

(1)按以上规律列出第 5 个等式:a5= = ;

(2)用含 n 的代数式表示第 n 个等式:an= = (n 为正整数);

(3)求 a1+a2+a3+a4+…+a100的值.

专项训练

一、 选择题

2. (在实数 中,最小的数是( ).

A. 0 B. -π

C. D. -4

3. 在 0,-1,-2,-3.5 这四个数中,最小的负整数是( ).

A. 0 B. -1

C. -2 D. -3.5

4. 在数轴上表示-2 的点离原点的距离等于( ).

A. 2 B. -2

C. ±2 D. 4

5. 若|x-5|=5-x,则下列不等式成立的是( ).

A. x-5>0 B. x-5<0

C. x-5≥0 D. x-5≤0

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6. 数轴上点A 表示的实数可能是( ).

(第 6 题)

8. 下列各数中最大的是( ).

A. -2 B. 0

9. 的平方根是( ).

A. 4 B. 2

C. ±4 D. ±2

10. 3 月 11 日,日本发生地震和海啸,3 月 12 日,中国红十字会向日本红十字会提供 100 万

元人民币的紧急援助,同时发出慰问电,向日本受灾群众表示诚挚的慰问,对地震遇难者表示

深切的哀悼,并表示将根据灾区需求继续提供及时的人道援助.100 万这个数用科学记数法表

示为( ).

A. 1.0×104 B. 1.0×106

C. 1.0×105 D. 0.1×106

11. 在下列各数(-1)0,-|-1|,(-1)3,(-1)-2中,负数的个数为( ).

A. 0 B. 1

C. 2 D. 3

12. 下列计算错误的是( ).

RM

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13. -7 的相反数的倒数是( ).

二、 填空题

15. 若 0<a<1,则 三者的大小关系是 .

16. (2013·安徽芜湖一模)2012 年 5 月 8 日,"最美教师"张丽莉为救学生身负重伤,张老

师舍己救人的事迹受到全国人民的极大关注,在住院期间,共有 695 万人以不同方式向她表

示问候和祝福,将 695 万人用科学记数法表示为 人.(结果精确到十万位)

17. (2013·山东德州一模)某种商品的标价为 200 元,按标价的八折出售,这时仍可盈利 25%,

则这种商品的进价是 元.

三、 解答题

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20. 计算:

21. 计算:

22. 计算:

|-3|+(-1)2014×(-2)0-+.

23. 计算:

24.计算:

参考答案与解析

1. C [解析]可利用特殊值法解,例如令 n=2,m=-3.

2. D [解析]正数大于零,负数小于零,正数大于负数.

3. C [解析]-3.5 不是整数 .

4. A [解析]-2 的绝对值等于 2.

5. D [解析]非负数的绝对值等于其相反数.

7. D [解析]正数大于零,负数小于零,正数大于负数.

10. B [解析]100 万=1.0×106.

11. C [解析](-1)0=1,-|-1|=-1,(-1)3=-1,(-1)-2=1.

13. C [解析]-7 的相反数是 7,7 的的倒数是 .

16. 7.0×106 [解析]695 万=6.95×106≈7.0×106.

17. 128 [解析]设每件的进价为 x 元,由题意,得 200×80%=x(1+25%),解得 x=128.

18. 原式=9+2-1-3+2=9.

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22. 原式=3+1-3+4=5.

23. 原式=2+2×-3+1-1=1.