行列式是一种求解方程组的非常方便的工具，是从二个方程联立求解的过程中找到规律并拓展到n个的一种计算方法。一般情况下，我们知道了方程组的系数，通过计算方程组的系数行列式就可以得到方正组的解。如果x1=A1/A，A1是用方程组常数项替换x1的系数的行列式，A是方程组的行列式（具体公式编辑不便，大家可以参考书），只要我们吧线性方程组列出来，求解是很简单的代数运算。对于n阶行列式求解，直接利用通项公式就可以了。现在很多科学计算库都有行列式计算的函数，已经不用手算了。特别要记住一点，行列式是一个数，并且只有方阵才有行列式（大家想想为什么，哈哈哈）。

行列式有很多的性质：行列式与其转置行列式相等；对换行列式的行列其值变号；两行相同的（等比）行列式值为0；行列式的某一行中所有元素都乘以同一数等于该数乘以行列式（可以提到行列式外面）；行列式某行如果可以分解为两数之和，则可以分解为两个行列式之和；行列式某行乘以同一数加到另外一行上行列式值不变；下三角行列式的值等于对角线的乘积；等等有很多，其核心就是方便行列式的计算。有一个有意思的行列式，就是范德蒙行列式，就是（xi-xj)积可以表示成为行列式的形式。（挺有趣，大家可以看看了解这个结果）

总之，利用行列式解线性方程组是线性代数最主要的应用之一。