1、什么是小波包变换

小波变换只对信号低频频带进行分解。小波包变换继承了小波变换的时频分析特性，对小波变换中未分解的高频频带信号进一步分解，在不同的层次上对各种频率做不同的分辨率选择，在各个尺度上，在全频带范围内提供了一系列子频带的时域波形。小波包分析就是进一步对小波子空间按照二进制方式进行频带细分，以达到提高频率分辨率的目的。小波变换和小波包变换的关系如下图所示。

2、构造原理

(1)、第二代小波包变换也是有分解和重构两个过程组成。设数据序列为S={s(k)，k∈Z} ，将数据序列分为奇样本序列So(k)和偶样本序列Se(k)两个部分，其中S(k)为S中的第k个样本。

(2)、然后通过下面公式计算小波包第L层分解的各个频带信号。其中P，U为第二代小波变换的预测器和更新器。

(3)、按下式对信号进行重构。

3、实例分析

下面我们用一个简单的例子来说明小波分析和小波包分析这两种分析方法的差别。假设采样频率为 1000Hz，则分析频率为500Hz。下图是一个简单信号，包含100Hz，200Hz，300Hz，400Hz四个频率成分。我们对信号作一层和二层小波分解和小波包分解，然后进行单支重构。一层分解得到2个频带，我们用(1，1)，(1，2)表示，二层分解得到4个频带我们用(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)表示。

分支

包含对频率成分

(1，1)

100Hz，200Hz

(1，2)

300Hz，400Hz

(2，1)

100Hz

(2，2)

200Hz

(2，3)

300Hz

(2，4)

400Hz

小波分析所以可以实现(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)4个频带的的单支重构，每一次单支重构都保留了相应频段的频率成分。

小波包除了上述4个频带的单支重构外，还可以实现(2，3)，(2，4)2个频带 的单支重构。

4、结论

小波包分析其实是小波分析的拓展，小波分析只实现了信号低频段的重构，小波包则补全了高频部分的重构，这样我们就实现了信号全频段的重构。在复杂的信号处理过程中，我们往往希望过滤掉大多数的无效频率成分，只保留有效的成分。小波包分析无疑是可以满足这种需求的，我们可以提前计算好有用信号的频段，采用某个频段的单支重构来复原该频段的波形信号。小波包算法的计算复杂度也是o(n)级别，我们已经实现了该算法的java语言版本，在后续的文章中我们会陆续介绍该算法的实战用法。