这是一个很有意思的问题。但从应用方面来说为了求一个图形的面积，我们可能会使用定积分来求；有时候求一个长方形的面积，直接套用一个公式，又完全看不到定积分的影子。

试想一下古人们抢领地的时候，并不会用定积分算一下我家的领地大还是你家的领地大，而是直观上比较看谁家的领地大；而后才有了长方形、三角形等常规图形面积的计算，其实这个时候面积的概念就出现了。

随着人们要求越来越精确，一些不规则图形的面积计算不了，就慢慢有了定积分来解决这一难以直观计算的问题。

再举一个例子来说明定积分和面积应用的问题：

假设小明的妈妈让小明数100块糖，一种方法是一块一块地数，另一种方法是先称一块糖的重量，另外计算出100块糖的重量，直接称出来，免去一块一块数的麻烦。

其实这个例子中第一种方法就是定积分的定义方法；第二种就是面积的方法。

如此一来，我们便可以引出定积分的定义：

定积分定义的通俗解释：利用无限多个矩形面积来代替

定积分的定义说了好多，大概意思是说：

定积分其实是一个函数与坐标轴、有限区间范围[a，b]所围的面积（有正负号区别，下述），正如下图左侧阴影部分的面积，它的近似计算，也即定义式是将所围面积划分成等宽，以每个矩形左侧或者右侧的横坐标所对应的函数值为高的无数个矩形求和得到，这样一来可以通过计算矩形面积的累加求和即可计算定积分的值。

之所以近似是因为矩形来代替定积分计算存在一定的误差，正如下图计算定积分的方式所示，误差正由于红色阴影部分的面积产生的，因此要想足够精确，只能将下图的矩形宽度无限缩小，用更多的矩形来等效。

定积分的精确计算：牛顿-莱布尼茨公式

上面给出了由定积分的定义来计算定积分，也说明了对于“不规则图形”用定义来计算定积分的值是非常麻烦的，毕竟如此之多的矩形求和是不现实的。

这个时候，牛顿-莱布尼茨公式很好地解答了这个问题，可以直接计算一个函数（原函数）的两次函数值，再作差就可以得出定积分的值。下面给出了牛顿-莱布尼茨公式：

这个公式的关键之处在于准确求得函数f(x)的原函数F（x）,反过来也可以说F（x）的导函数是f(x).

如此一来，我们可以接着思考一下：

我们在计算定积分的时候，使用牛顿-莱布尼茨公式可以得出，而计算长方形的面积，直接套用面积公式也可以得出，是不是也可以理解为：牛顿-莱布尼茨公式其实也是一种给出图形面积的方法，有所不同的是，积分上下限的置换，定积分的值可能还需要加一个正负号。

定积分与面积的关系

以上的情形是在二维坐标系-平面下，因此定积分可以用来求一个二维图形的面积；同样的，在三维坐标系下，三重积分则可以用来求一个物体的体积。

但是这里面有一个优先级的问题，如果一个定积分或者三重积分可以直接用面积公式或者体积公式计算得到，则可以直接计算得出，而不必再一步步求解这个定积分或者三重积分。

除了计算面积之外，定积分还可以用在物理中计算路程-速度、速度-加速度问题。换句话说，两个物理量之间如果满足导数关系，即可以用定积分来计算原函数。

因此路程-速度问题可以解释为路程是速度与时间轴所围成的面积；而速度-加速度问题则可以解释为速度是加速度与时间轴所围成的面积。