"回文"是指正读反读都能读通的句子，它是古今中外都有的一种修辞方式和文字游戏，如"我为人人，人人为我"等。在数学中也有这样一类数字有这样的特征，成为回文数（palindrome number）。

1. 回文数

一个自然数，如果从左向右看和从右向左看数字都一样，换句话说，就是"数字排列左右对称"，就把它叫做"回文数"。比如121、5335、6084806都是回文数。当然，由同一个数字组成的数，如11，999也是回文数。回文数还要一个比较文艺的名字。巴克敏斯特·福乐在其著作《协同学》（Synergetics）中把回文数也叫做沙拉扎数（Scheherazade Numbers），沙拉扎是《一千零一夜》中那位讲故事的王妃、即宰相的女儿的名字。

有人发现：如果给一个自然数，加上它的倒序数（就是把它的数字顺序倒过来所组成的数），再对所得的和重复这个步骤，一般说来，经过有限次计算，就会得到一个回文数。

比如，84＋48＝132，132＋231＝363，363就是个回文数。

再比如，95＋59＝154，154＋451＝605，605＋506＝1111，1111就是个回文数。

有时候可能需要重复的步骤比较多一些。

比如，97＋79＝176，176＋671＝847，847＋748＝1595，1595＋5951＝7546，7546＋6457＝14003，14003＋30041＝44044，44044就是个回文数。

再比如，198＋891＝1089，1089＋9801＝10890，10890＋09801＝20691，20691＋19602＝40293，40293＋39204＝79497，79497就是个回文数。

人们对大量的自然数进行了这样的计算，都得到了回文数。可是，偏偏有一个数很不一般，这个数就是196。让我们试试看：

196＋691＝887，887＋788＝1675，1675＋5761＝7436，7436＋6347＝13783，13783＋38731＝52514，52514＋41525＝94039，94039＋93049＝187088，187088＋880781＝1067869，1067869＋9687601＝10755470，10755470＋07455701＝18211171，上述步骤重复进行了10次，还没有结果，果然非同寻常。其实，早就有人用电脑把这个步骤重复进行了数十万次，也没有得到回文数，并且，也没有发现循环的迹象，所以还无法判断继续进行下去，究竟能不能得到一个回文数。

196这个数不算大，看起来也没有什么特殊的地方，可是求回文数的方法，遇见它竟然不灵了。真应了那句俗话：大江大海都过了，却在小河沟里翻了船。要不怎么会说，自然数是个充满奥秘的世界呢！

思考问题：两位数中只有9个回文数，它们是11，22，33，44，55，66，77，88，99.三位数中的回文数，由前两位数确定，共有9x10=90个，它们是111，121，131，…，212，222，…，989，999.四位数的回文数共有9x10=90个。

五位数的回文数会有几个呢？聪明的小朋友用你学过的排列知识来算一算吧！

2. 回文数分类

回文数有两种：同数回文数和对称回文数，兹仅以对称回文数作例。

对称回文数：这一类的回文数都有对称的特点，顺读倒读数字次序不变，如：101、12321、32123等。此类回文数的形式多位数的乘法里面的"镜反数"，又叫对称数；有以下几种。

第一种形式：以1组成的系列数，其将平方得到回文数，如：

11（平方）=121，

111（平方）=12321，

1111（平方）=1234321，

……………………

111111111（平方）=12345678987654321，

用立方也有类似情况：11（立方）＝1331，111（立方）＝1367631。

第二种形式：以9做被乘数，1089做乘数，得9801。得数是乘数的回文数。如果在中间填n个9，会得出n个得数是乘数的回文数。

9x1089＝9801，

9x10989＝98901，

9x109989＝989901，

9x1099989＝9899901，

…………………………

9x109999999989＝989999999901

注意到了，上面的粗体数字和等号两边的粗体数字，他们是对称的。

特殊地，回文素数：2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151,181,191,…

回文完全平方数：0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321,…

既是素数又是回文数的数，比如11，101，757等等，除了11以外，其余回文素数的位数都是奇数。虽然，数学家们相信回文素数有无穷多个，但这也是尚无法证明的猜想。人们借助电子计算机发现，在完全平方数、完全立方数和完全四次方数中的回文数，其比例要比一般自然数中回文数所占的比例大得多，如 121=11²，14641=121²，40804=202²，343=7³，1331=11³，1030301=101³，等都是回文数。

回文素数是否有无穷多个，也是个尚未解决的公开问题。根据在线整数序列百科全书OEIS编号A050251发布的最新结果，已经知道小于1023的回文素数个数有22170468927个。目前已知的最大回文素数是2014年11月发现的10474500 + 999 · 10237249 + 1，这是一个474501位数。

Clifford A. Pickover发现了回文素数1000000000000066600000000000001,中间三个数字是666，两边各有13个0。在英美文化中，666被认为是野兽数，13代表霉运，这个数有31位，又是13的倒写。于是Pickover称这个回文素数为贝尔菲戈尔素数（Belphegor's prime），贝尔菲戈尔是传说中的恶魔。

在数量众多的回文素数中隐藏着一些有趣的数。G. L. Honaker, Jr.构造出一个金字塔形式的回文素数列表：

思考问题：

(1).任取一个正整数，与它的倒序数相加，若其和不是回文数，再与其倒序数相加，重复这一步骤，一直到获得回文数为止。例如：68 ，

68+86=154

154+451=605，

605+506=1111，

于是有数学家提出一个猜想：不论开始采用什么整数，在经过有限次倒序相加步骤后，都会得到一个回文数。至今还不知道这个猜想是对还是错的。

(2).有一些自然数，从左向右读与从右向左读是完全一样的，我们将这样的数称作“回文数”。比如2332，181，77都是回文数。有些六位回文数除以95的商也是回文数，符合要求的六位数有几个，分别是多少？

3. 特殊的回文数--橄榄数

12345678987654321这个数有这样一个特点，各数位上的数字从左到右逐渐增大（由1到9，是连续自然数）到蹭数9时，达到顶峰，以后又逐渐减小（由9到1），它活像一只橄榄，我们姑且称它为橄榄数（是一种特殊的回文数）。有趣的是它还是一个完全平方数呢？你知道它是哪个数的平方吗（学过开方的同学，也希望你根据这个数的特点，分析出这个数来）？

12345654321也是一个橄榄数，它是哪个数的平方呢？告诉你这个数还能被3、7、11、13、37整除呢？

解：因为1＝1，2＝1＋1，3＝1＋1＋1，4＝1＋1＋1＋1，5＝1＋1＋1＋1＋1，6＝1＋1＋1＋1＋1＋1，7＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，8＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1，9＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1。

所以12345678987654321可以分成下面九项的和，即：

写成上面形式后，大家可能不再感到陌生了，它是111111111×111111111

直式计算的一部分，所以12345678987654321＝1111111112。

同样可以求出：121＝112，12321＝1112，1234321＝11112，123454321＝111112，

12345654321＝1111112，1234567654321＝11111112，123456787654321＝111111112。

从上面各橄榄数中，可以发现橄榄数中间的哪个数与和它相等的两次幂中底数的1的个数相等，即：

（其中n＝1，2，…，9）。由于12345654321＝1111112，而111111能被3，7，11，13，37整除，所以12345654321也能被3，7，11，13，37整除，并且有12345654321＝32×72×112×132×372。