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配方用口诀 方程不难解

周游一生数学教育教学 2717

前言:

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配方法是数学解题的重要方法,是解一元二次方程ax2+bx+c=0的基本方法之一,同时又是求根公式推导的依据,因此,真正理解、掌握配方法对学好数学无疑是大有益处的.对于配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0,由于步骤比较多,过程比较麻烦,初学时常常不得要领而出错.现将其运用步骤归纳为如下口诀:

二次系数化为1,常数朝着右边移;

一次系数取一半,平方之后加两边;

左边配方右边算,再用直接开平方.

口诀解析如下:

"二次系数化为1"的意思是:把ax2+bx+c=0的两边同时除以a,化为二次项系数为1的方程:

x2+(b/a)x+c/a=0;

温馨小提示:如果原方程二次项系数本来就是1,那么这个步骤就不需要了.

"常数朝着右边移"的意思是:把常数项c/a移到方程的右边,得

x2+(b/a)x=-c/a;

温馨小提示:如果原方程本来就不含常数项(即常数项为0),那么这个步骤就不需要了.

"一次系数取一半,平方之后加两边"的意思是:在二次项系数为1的情况下,取一次项的系数b/a的一半b/(2a),平方得:[b/(2a)]2,然后方程两边同时加上[b/(2a)]2,得:

x2+(b/a)x +[b/(2a)]2=-c/a+[b/(2a)]2;(*)

"左边配方右边算"的意思是把(*)式的左边进行配方,右边计算,得:

[x+b/(2a)]2=(b2-4ac)/(4a2);(**)

温馨小提示:左边是x与一次项系数的一半的和的平方,特别注意符号"+"或"-";右边计算务必认真细致,不要出现任何的差错.

"再用直接开平方"的意思是:如果(**)式的右边是正数,那么运用直接开平方法,得:

x+b/(2a)=±√(b2-4ac)/(2a);(***)

然后分别写出方程的两根:

x1=[-b+√(b2-4ac)]/(2a),

x2=[-b-√(b2-4ac)]/(2a).

温馨小提示:如果右边计算后是负数,则不能运用直接开平方,此时只须直接写出:原方程没有实数根.

例1 用配方法解方程:2x2-3x-5=0.

解:"二次系数化为1",得:

x2-(3/2)x-5/2=0;

"常数向着右边移",得:

x2-(3/2)x=5/2;

"一次系数取一半,平方以后加两边"得:

x2-(3/2)x+(3/4)2=5/2+(3/4)2;

"左边配方右边算",得:

(x-3/4)2=49/16;

"再用直接开平方",得:

x-3/4=±7/4,

所以x-3/4=7/4或x-3/4=-7/4,

即x1=5/2,x2=-1.

例2 用配方法解方程:(2/3)x2+4x-1=0.

解:"二次系数化为1",方程两边乘以3/2,得:

x2+6x-3/2=0,

"常数向着右边移",得:

x2+6x=3/2,

"一次系数取一半,平方以后加两边",得:

x2+6x+9=3/2+9,

"左边配方右边算",得:

(x+3)2=21/2,

"再用直接开平方",得:

x+3=±√(21/2),

所以x=-3±√42/2,

所以x1=-3+√42/2,x2=-3±√42/2.

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