长短期记忆（LSTM（long short term memory）unit）

在上一个笔记中你已经学了GRU（门控循环单元）。它能够让你可以在序列中学习非常深的连接。其他类型的单元也可以让你做到这个，比如LSTM即长短时记忆网络，甚至比GRU更加有效，让我们看看。

这里是上个笔记中的式子，对于GRU我们有a^(<t>)=c^(<t>)。

还有两个门:

更新门Γ_u（the update gate）

相关门Γ_r（the relevance gate）

̃c^(<t>)，这是代替记忆细胞的候选值，然后我们使用更新门Γ_u来决定是否要用̃c^(<t>) 更新c^(<t>)。

LSTM是一个比GRU更加强大和通用的版本，这多亏了 Sepp Hochreiter和 Jurgen Schmidhuber，感谢那篇开创性的论文，它在序列模型上有着巨大影响。感觉这篇论文是挺难读懂的，虽然我认为这篇论文在深度学习社群有着重大的影响，它深入讨论了梯度消失的理论，我感觉大部分的人学到LSTM的细节是在其他的地方，而不是这篇论文。

这就是LSTM主要的式子（上图编号2所示），我们继续回到记忆细胞c上面来，使用̃c^(<t>)=tanh(W_c [a^(<t-1>),x^(<t>) ]+b_c来更新它的候选值̃c^(<t>)（上图编号3所示）。

注意了，在LSTM中我们不再有a^(<t>)=c^(<t>)的情况，这是现在我们用的是类似于左边这个式子（上图编号4所示），但是有一些改变，现在我们专门使用a^(<t>)或者a^(<t-1>)，而不是用c^(<t-1>)，我们也不用Γ_r，即相关门。

虽然你可以使用LSTM的变体，然后把这些东西（左边所示的GRU公式）都放回来，但是在更加典型的LSTM里面，我们先不那样做。

我们像以前那样有一个更新门Γ_u和表示更新的参数W_u，Γ_u=σ(W_u [a^(<t-1>),x^(<t>) ]+b_u)（上图编号5所示）。一个LSTM的新特性是不只有一个更新门控制，这里的这两项（上图编号6，7所示），我们将用不同的项来代替它们，要用别的项来取代Γ_u和1-Γ_u，这里（上图编号6所示）我们用Γ_u。

然后这里（上图编号7所示）用遗忘门（the forget gate），我们叫它Γ_f，所以这个Γ_f=σ(W_f [a^(<t-1>),x^(<t>) ]+b_f)（上图编号8所示）；

然后我们有一个新的输出门，Γ_o=σ(W_o [a^(<t-1>),x^(<t>) ]+>b_o)（上图编号9所示）；

于是记忆细胞的更新值c^(<t>)=Γ_u*̃c^(<t>)+Γ_f*c^(<t-1>)（上图编号10所示）；

所以这给了记忆细胞选择权去维持旧的值c^(<t-1>)或者就加上新的值̃c^(<t>)，所以这里用了单独的更新门Γ_u和遗忘门Γ_f，

然后这个表示更新门（Γ_u=σ(W_u [a^(<t-1>),x^(<t>) ]+b_u)上图编号5所示）；

遗忘门（Γ_f=σ(W_f [a^(<t-1>),x^(<t>) ]+b_f)上图编号8所示）和输出门（上图编号9所示）。

最后a^(<t>)=c^(<t>)的式子会变成a^(<t>)=Γ_o*c^(<t>)。这就是LSTM主要的式子了，然后这里（上图编号11所示）有三个门而不是两个，这有点复杂，它把门放到了和之前有点不同的地方。

再提一下，这些式子就是控制LSTM行为的主要的式子了（上图编号1所示）。像之前一样用图片稍微解释一下，先让我把图画在这里（上图编号2所示）。如果图片过于复杂，别担心，我个人感觉式子比图片好理解，但是我画图只是因为它比较直观。

这个右上角的图的灵感来自于Chris Ola的一篇博客，标题是《理解LSTM网络》（Understanding LSTM Network），这里的这张图跟他博客上的图是很相似的，但关键的不同可能是这里的这张图用了a^(<t-1>)和x^(<t>)来计算所有门值（上图编号3，4所示），在这张图里是用a^(<t-1>)， x^(<t>)一起来计算遗忘门Γ_f的值，还有更新门Γ_u以及输出门Γ_o（上图编号4所示）。然后它们也经过tanh函数来计算̃c^(<t>)（上图编号5所示），这些值被用复杂的方式组合在一起，比如说元素对应的乘积或者其他的方式来从之前的c^(<t-1>)（上图编号6所示）中获得c^(<t>)（上图编号7所示）。

这里其中一个元素很有意思，如你在这一堆图（上图编号8所示的一系列图片）中看到的，这是其中一个，再把他们连起来，就是把它们按时间次序连起来，这里（上图编号9所示）输入x^(<1>)，然后x^(<2>)，x^(<3>)，然后你可以把这些单元依次连起来，这里输出了上一个时间的a，a会作为下一个时间步的输入，c同理。

在下面这一块，我把图简化了一下（相对上图编号2所示的图有所简化）。然后这有个有意思的事情，你会注意到上面这里有条线（上图编号10所示的线），这条线显示了只要你正确地设置了遗忘门和更新门，LSTM是相当容易把c^(<0>)的值（上图编号11所示）一直往下传递到右边，比如c^(<3>)=c^(<0>)（上图编号12所示）。

这就是为什么LSTM和GRU非常擅长于长时间记忆某个值，对于存在记忆细胞中的某个值，即使经过很长很长的时间步。

这就是LSTM，你可能会想到这里和一般使用的版本会有些不同，最常用的版本可能是门值不仅取决于a^(<t-1>)和x^(<t>)，有时候也可以偷窥一下c^(<t-1>)的值（上图编号13所示），这叫做“窥视孔连接”（peephole connection）。虽然不是个好听的名字，但是你想，“偷窥孔连接”其实意思就是门值不仅取决于a^(<t-1>)和x^(<t>)，也取决于上一个记忆细胞的值（c^(<t-1>)），然后“偷窥孔连接”就可以结合这三个门（Γ_u、Γ_f、Γ_o）来计算了。

如你所见LSTM主要的区别在于一个技术上的细节，比如这（上图编号13所示）有一个100维的向量，你有一个100维的隐藏的记忆细胞单元，然后比如第50个c^(<t-1>)的元素只会影响第50个元素对应的那个门，所以关系是一对一的，于是并不是任意这100维的c^(<t-1>)可以影响所有的门元素。相反的，第一个c^(<t-1>)的元素只能影响门的第一个元素，第二个元素影响对应的第二个元素，如此类推。但如果你读过论文，见人讨论“偷窥孔连接”，那就是在说c^(<t-1>)也能影响门值。

LSTM前向传播图：

LSTM反向传播计算：

门求偏导：

参数求偏导 ：

为了计算db_f,db_u,db_c,db_o 需要各自对dΓ_f^(⟨t⟩),dΓ_u^(⟨t⟩),d̃c^(⟨t⟩),dΓ_o^(⟨t⟩) 求和。

最后，计算隐藏状态、记忆状态和输入的偏导数：

这就是LSTM，我们什么时候应该用GRU？什么时候用LSTM？这里没有统一的准则。

而且即使先讲解了GRU，在深度学习的历史上，LSTM也是更早出现的，而GRU是最近才发明出来的，它可能源于Pavia在更加复杂的LSTM模型中做出的简化。研究者们在很多不同问题上尝试了这两种模型，看看在不同的问题不同的算法中哪个模型更好，所以这不是个学术和高深的算法，我才想要把这两个模型展示给你。

GRU的优点是这是个更加简单的模型，所以更容易创建一个更大的网络，而且它只有两个门，在计算性上也运行得更快，然后它可以扩大模型的规模。

但是LSTM更加强大和灵活，因为它有三个门而不是两个。

如果你想选一个使用，我认为LSTM在历史进程上是个更优先的选择，所以如果你必须选一个，我感觉今天大部分的人还是会把LSTM作为默认的选择来尝试。虽然我认为最近几年GRU获得了很多支持，而且感觉越来越多的团队也正在使用GRU，因为它更加简单，而且还效果还不错，它更容易适应规模更加大的问题。

所以这就是LSTM，无论是GRU还是LSTM，你都可以用它们来构建捕获更加深层连接的神经网络。

（Hochreiter S, Schmidhuber J. Long Short-Term Memory[J]. Neural Computation, 1997, 9(8):1735-1780.）