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利维坦按：

“对于我们的理性推论存在着两大原则：其一是矛盾原则，这就是说，两个相互矛盾的命题中一个是真理，另一个是谬误；其二是充足理由原则，根据此一原则，任何事物的产生都不可能没有原因或者至少不会没有一个确定的理由。这是指某种能够用来先天地进行解释的东西，它说明为什么某物存在着而不是不存在，为什么某物恰恰如此存在而不是以完全另一种方式存在。”莱布尼茨的本体论证明是基于《神义论》中的两个原则（尤其是充足理由原则），当然，如果按照休谟的怀疑论来看，它仍然需要回答一个问题，即：为何作为整体的宇宙/世界必须要有一个充足的理由呢？或者说，存在是一个经验事实，还是超验事实？

莱布尼茨那句“我们的宇宙，在某种意义上是上帝所创造的最好的一个”，或许在很多人看来过于乐观，但在他的自有认知体系中，却是对于恶之存在的一种合理化诠释——上帝创造世界不可能如上帝本身一样完美。

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哥德尔：20世纪最伟大的逻辑学家之一。© The Conversation

我们知道，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel，1906-1978，出生于奥匈帝国的数学家、逻辑学家和哲学家，维也纳学派成员，编者注）在人生的最后阶段对莱布尼茨（1646-1716）做了大量深入的研究工作。哥德尔对莱布尼茨痴迷至极，按照他本人的说法，当有人毁掉了莱布尼茨的部分手稿时，卡尔·门格尔（Karl Menger，美籍奥地利数学家，编者注）问哥德尔：“谁能从毁掉莱布尼茨的手稿中获得好处？”哥德尔会说：“自然是那些不希望人类变得更聪明的人！”（门格尔，1994）。当他的友人们建议他专注于自己的研究，而非钻研、阅读莱布尼茨的作品时，他一概置之不理。最终，不出意料，哥德尔继续追随着莱布尼茨的脚步，像莱布尼茨一样为上帝之存在提供了本体论证明。

戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716），德国哲学家、数学家。© ND/Roger Viollet/Getty Images

在这篇文章中，我将引用莱布尼茨的成果和阐释，例如他的通用表意文字和二进制数字系统，以便读者对他的部分成果有所了解，尤其是涉及数学哲学的那一部分。我还将解释莱布尼茨是如何理解证明和分析的概念的。最后，我将重点讨论莱布尼茨在神学和形而上学/哲学框架下的数学学科中的地位。

通用表意文字（Characteristica universalis）

“拉丁语‘characteristica universalis’，在英语中通常译为普遍特征（universal characteristic）或通用字符（universal character），是戈特弗里德·莱布尼茨所设想出的一种通用的形式语言，能够表达数学、科学和形而上学方面的概念。莱布尼茨希望创建的是一种可以在通用逻辑运算或者说推理演算框架之下加以使用的语言。”（维基百科，2019）

莱布尼茨的“通用表意文字”，这是他推理演算的基础。© Internet Archive

莱布尼茨意识到，政治或哲学方面的辩论和研究并不遵循数学方法。他认为，数学家也很可能像其他人一样犯错误，但他们也有一些工具可用以发现自己的错误。然而，哲学家没有数学家那样的工具，所以他们往往会犯更多的错误。

尽管哲学界有亚里士多德派或柏拉图派，数学界却没有“欧几里德派”或“阿基米德派”（引自《数学与神学：一项历史研究》[Mathematics and the Divine: A Historical Study]“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章，第485-498页）。根据莱布尼茨的观点，有必要对思想进行数学化，以便解决由感情而非正义所支配的争端；为了使思想中的重要部分形式化，数学领域需要产生符号和规则。

正如莱布尼茨在他的《通用表意文字序言》（Preface to a Universal Characteristic）中解释的那样，通用表意文字将揭示我们思维的“字母表”，分析其基本概念，而基于这些概念，就能以一种明确的方式判断一切事物（引自莱布尼茨《哲学文集》[Philosophical Essays]，第5-10页）。因此，主张两种不同观点的哲学家之间将不必再发生冲突，他们会挨着坐在一起说：“让我们计算一下吧！”（“Calculemus！”）然后他们就能计算出自己想法的准确性！

莱布尼茨的通用表意文字是一种计算公式。这种思想是基于将基本的或不可约的想法与质数相匹配。一个数字刻画一个基本想法：这就是特征数（characteristic number）。让我们引用莱布尼茨本人在文章中给出的一个例子，他在该篇文章中讨论了特征数文字的样本（引自莱布尼茨《哲学文集》，第10-18页）。假设我们给出两对数（13, 5）和（8, 7），它们分别对应“人是理性的动物”这一命题中“动物”和“理性”这两个基本概念。那么刻画“人”这一概念的数字就是（[13×8], [-5×7]）=（104, -35）。

根据这一思想，由于质数的数目是无限的，所有基本或不可约的概念都可以分配到一个、一对或一组三个数字；因此，其他复合概念可以以质数乘积的形式获得，整个语言系统都可以被映射成数字。

二进制数字系统（Binary Number System）

二进制数字系统

二进制数字系统在莱布尼茨之前就已经存在，但莱布尼茨是第一个以系统、成熟的方式记录它的人。在一封信中，莱布尼茨描述了他如何处理万物从无到有和二进制数字系统这两个问题。这是莱布尼茨思想中神学和数学（乃至物理学）巧妙地发生相互作用的例子，我会在后面提到这点。

针对万物创生和二进制系统，莱布尼茨设计了一枚金属纪念章（硬币）。该奖章上刻有以下字句：“（上帝）创世的场景”（Imago creationism），“自无导出万物，一足矣”（Omnibus ex nihilo ducendis sufficit unum）和“只需一物”（Unum est necessarium）。莱布尼茨遵循毕达哥拉斯学说，声称万物的起源或本质是一个数字。众所周知，在二进制数字系统中，所有的数字都可以用0和1来表示。莱布尼茨把0解释为“无”，把1解释为“上帝”，他认为二进制系统象征着创造，因此一切都可以用这个系统表达。对莱布尼茨来说，一切都是0和1的组合。根据这一理论，万物都来自“1”，也就是上帝。

莱布尼茨本人绘制并出版了这枚纪念章。

对莱布尼茨来说，二进制数字系统揭示了上帝创世的美丽和完美。也就是说，二进制系统中的单个数字可能看起来并不美，但是当它们被一个接一个地写下去时，美就从整个系统的秩序感中诞生了。类似地，在这个世界上也许有些东西，我们单独看它们并不喜欢，但是当我们找到正确的视角，就会发现它是完美的。

莱布尼茨的数字神秘主义并不止于此，他还说过诸如“上帝喜欢奇数”之类的话。鉴于我们不想就这个问题展开太多，再举最后一个例子即可：莱布尼茨说，创世后的第七天在二进制中是一个非零（“完美”）数字，这是对于上帝六天创世的许多数字类比的一个补充。它还指出，111点代表着三位一体（引自《数学与神学：一项历史研究》“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章）。

现代意义上的“证明”概念

正如科学哲学家伊恩·哈金（Ian Hacking）指出的那样，笛卡尔并不知道什么是当代意义上的“证明”。相比之下，莱布尼茨的理解则更接近于现代对证明的定义（哈金，2002）。他认为笛卡尔的数学准确性与证明无关。对于笛卡尔来说，即使一件真实的事情没有被证明，它也是自然真实的。因此，事物的真值与对它的证明是不相关的。

勒内·笛卡尔（René Descartes，1596-1650）。© 维基百科

我们也不要忘记，笛卡尔并不寻找证明，而是寻找能够给出新的数学结果的实用方法。现代证明概念之所以出现，是因为莱布尼茨认识到证明的有效性不在于其内容，而在于其形式。所以，“证明”是根据特定逻辑规则，始于特定同一性的特定句子的有限数量的序列。

如果我们回忆一下笛卡尔的方法，会注意到他在收集新信息时非常重视直觉，而在莱布尼兹对证明的理解中，关键在于找到我们所拥有的句子的“机械”证明。

莱布尼茨提出的证明思想多半受到了他那个时代的思想的影响。正如哈金所说（哈金，2002，第202页），习惯上每个时代都有一位深深动摇了此前各种思想的人，而每个时代的人们也要找到并推翻这个人；莱布尼茨就在他的时代扮演着这样一个角色。

事实上，有关他那个时代“证明”这一观念的出现，莱布尼茨本人提供了一个说得过去的解释。当几何作为精确度的衡量标准时，很难发展出现代意义上的证明概念：这是因为几何证明主要是基于它们的“内容”。这种证明的有效性取决于它们是否符合所研究的几何对象的已知性质。随着笛卡尔几何学的代数化，证明转化为形式的途径得以开辟。

分析

当一个陈述是谓项、等同于主项的项，或陈述中的谓项包含于主项中时，它被称为分析性陈述。例如，假如我们说“所有的人都是活着的”，对于莱布尼茨而言，我们的意思是“活着”的概念包含在“人”的概念之内（引自莱布尼茨《哲学文集》，第11页），所以这个陈述是分析性的。根据莱布尼茨的观点，所有的数学真理都是分析性的。

伊曼努尔·康德（Immanuel Kant，1724-1804）。© Biography.com

众所周知，伊曼努尔·康德通过努力改造莱布尼茨的实在（reality）概念，引入了分析-综合区别（analytic-synthetic distinction）。康德认为，分析先验知识是只能通过逻辑获得的信息。综合先验知识是利用时间和空间直觉所获得的信息。康德认为，算术学中的数线和几何学中的直线都是基于直觉的综合先验知识。

这里，我们想强调的是，莱布尼茨对分析和公义的理解（尽管康德已经改变了这些含义）塑造了弗雷格（Gottlob Frege）和罗素等逻辑学家的基本主张，他们在20世纪早期试图将所有的数学陈述归结为逻辑。此外，莱布尼茨的“公理可以被证明”的观点很可能也影响了逻辑学家。不仅如此，莱布尼茨本人也试图对某一数学证明中所用的原理给出有力的证明。

莱布尼茨的证明概念和分析概念是相辅相成的，因为在证明过程中，从任何一个陈述中推导出其他陈述，都符合分析的概念。

神圣的数学（Mathematica Divina）

到目前为止，我们已经接触了莱布尼茨关于数学的一些观点。本文提出的问题之一是，莱布尼茨对待数学的看法无法和他的神学和形而上学/哲学观点区分开。比如，我们已经在上面提到过，莱布尼茨并不把二进制数字系统理解为一个算术问题。

布雷格（Breger）如是引用道，对于莱布尼茨来说，数学和神学就像是“通向上帝的阶梯”（引自《数学与神学：一项历史研究》“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章，第493页）。要想理解莱布尼茨，就要对他眼中数学、神学和形而上学之间的关系一一进行讨论解决。这样一个复杂的问题无法在这篇短文中尽数阐明；因此，我将仅仅提及其中几个问题，给读者一个大致印象。

莱布尼茨希望他的数学成就能引起人们对他的哲学和神学思想的注意；毕竟，数学成就是一个人意志坚韧的标志。莱布尼茨的这种个人层面的“机会主义”反映了他所处时代社会层面的另一种机会主义。众所周知，去往中国的基督教传教士利用欧洲的数学成就来给中国人留下深刻的印象，然后使他们信仰基督教。莱布尼茨会毫不犹豫地赞同这一做法。

事实上，对于莱布尼茨而言，通用表意文字方法是向那些不信仰上帝的人展示真相的最可靠的方法，因为它可以像一架天平一样测量和显示一切事物的准确值（引自《数学与神学：一项历史研究》“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章，第9页）。换句话说，传教士们用这种计算方法向非基督徒展示真理，这将足以引导他们走向基督教！

莱布尼茨使用数字作为通用表意文字有其形而上学的基础所在。莱布尼茨论述了“上帝依据一定的尺度、数目和衡量创造万物”的信仰，这也是柏拉图的观点。莱布尼茨认为：有些物体没有重量，所以它们的重量无法计算；有些物体没有维度，所以它们的长度无法测量，但任何东西都可以数出数目。总之，数字是一切事物的本质。

根据莱布尼茨的说法，上帝是一位完美的数学家。创造的行为与“神圣的数学”（Mathesis quaedam Divina）一同发生。莱布尼茨在他的著名文章《论事物的终极起源》（On the Ultimate Origin of Things）中说，万物的起源是一种“形而上学的机制”或“神圣的数学”（引自莱布尼茨《哲学文集》，第151页）。世界上的一切都是按照一定的尺度和规律存在的，这些规律不仅是“几何”的，而且是“形而上学的”（同上，第152页）。

对于莱布尼茨来说，一个自由意志的世界，即使其中存在着残忍和邪恶，也比一个没有残忍、邪恶和自由意志的世界要好，他在《神义论》（Theodicy，又名《神正论》）和许多其他著作中都提到过这点。这就是对上帝何以创造一个存在邪恶之世界的解释。在所有可能的世界中，为什么上帝以这种方式创造了这个世界，而不是另一个世界？

对莱布尼茨而言，这就是一个完美的世界！也就是说，作为一个完美的数学家，上帝计算了所有可能的世界，并创造了其中最好的那个。要证明这是所有可能中最好的世界，一个例子是，狮子是危险的动物，但是如果没有它们，这个世界将不那么完美。

此外，我们对这个世界的福祉的评估仅限于我们迄今为止所知晓的和经历过的事件。然而，上帝在选择这个最完美的世界时，考虑了全部的时间和所有的造物（引自莱布尼茨《哲学文集》，第149-155页）。莱布尼茨在这方面给出的另一个例子是，一个出生在监狱里的人不能仅仅通过环顾四周就断定整个世界都是坏的。毕竟，对于莱布尼茨来说，个体只能看到某一部分，而上帝在考虑过一切后才做决定。

不了了之

莱布尼茨那迷人的通用表意文字计划从未付诸实施。大卫·希尔伯特（David Hilbert）为莱布尼茨的思想辩护，认为这一思想的数学形式是可行的，并据此提出了一个计划。钦佩莱布尼茨的哥德尔证明了不完备定理（Deficiency Theorem），并指出像通用表意文字这样的计划注定要失败，这种失败不仅是哲学层面的，甚至也是数学层面的。

莱布尼茨那部分基于数学的形而上学和神学带来了严重的问题。从某种意义上说，莱布尼茨把一切都简化成了计算。例如，他把上帝比作了解决数学问题的计算器。这看起来似乎自相矛盾，但是很明显，这样的上帝在没有数学解决方案的事情上没有发言权。莱布尼茨说，在某些地方，即使是上帝也不能做永恒的运算。当莱布尼茨把上帝塑造成一个数学家时，他很清楚，即使是上帝也做不到数学家能做到的事。比如说，上帝不能做无限的运算，但他可以看到结果（就像数学家在求极限时不会逐个地无限次运算下去，而是可以计算出那些无限运算的结果）。此外，莱布尼茨认为，不可能存在一个以上采取绝对数学准确值的、自洽的数学体系。

从这里生发出了一个莱布尼茨并不感兴趣的问题：上帝使用的是哪种数学？

从我们到目前为止所写的来看，数学在莱布尼茨的一切思想中都占有重要的地位。在他看来，数学家必须是哲学家，正如哲学家应当是数学家一样。莱布尼茨在与洛必达（L’Hôpital）的通信中写道，他的形而上学是数学的，可以用数学的形式书写（引自《数学与神学：一项历史研究》“莱布尼茨思想中的上帝与数学”一章）。不仅如此，按照莱布尼茨的看法，数学非常接近于逻辑，即创造新发明的艺术，而形而上学与逻辑没有什么不同。

“我起初是个哲学家，最后却成了神学家。”莱布尼茨说。如今，如果有人想理解莱布尼茨的哲学，他们仍然会遇到一个主要的问题：莱布尼茨著作中数学与哲学、形而上学及神学之间的关系。

文/Waldo Otis

译/苦山

校对/凌波微步的兔子

原文/medium.com/however-mathematics/leibniz-and-his-approach-to-god-3246f81da650

本文基于创作共同协议（BY-NC），由苦山在利维坦发布

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