以上是线性空间的定义，包括线性运算和向量空间两重含义。

定义中V是一个向量的集合。在二维空间中，就是平面上所有的点。

向量张成的空间：所有可以表示为给定向量线性组合的向量的集合（二维空间中，若给定向量线性无关，则为整个平面，若线性相关，则为一条直线，零向量张成的空间为零；三维空间，给定向量线性无关，则为整个空间）

比如，上图二维坐标系中，X轴与Y轴可以看着是两个线性无关的向量，在这个平面中的任意一点，都可以表示为：

p(3,4)=3x+4y这种形式，即x、y两个向量的线性组合，其中(3,4)是坐标值。

扩充下去就是线性空间的一般表达式：

x=a1x1+a2x2+a3x3+.......

x1,x2,x3,...是坐标轴，都是一次变量；a1,a2,a3,...则是坐标值。

随着X轴与Y轴向上下左右无限延伸，会有越来越多的点包括在这个平面中（100，100），

（1000，1000），（10000，10000），等等，所以叫做x、y两个向量张成的空间，英语单词就是span。所以我们可以把span这个单词就想象成坐标轴无限延伸的过程。

上图的三维空间也是一样。

将基向量的个数扩展到n个，意思也一样。

子空间W首先也是一个集合，是集合V的一部分，比如，对于三维空间而言，取出其中一部分的点：（1，2，3），（2，2，4），（3，4，5），（5，3，0），等等，这些向量就构成了一个子空间，只要规定对这些向量进行加法和数乘运算以后得到的结果，还是属于这个W空间。

对于n维空间而言：

过原点的一个m维空间，只要m≤n，那m就一定是n维空间的一个子空间

例：3维空间中，过原点的一个2维空间(平面)即3维空间中的一个子空间

例：3维空间中，过原点的一个1维空间(直线)即3维空间中的一个子空间

子空间的维数可以小于等于原空间的维数。

比如，在三维空间中，令z坐标轴的坐标值为0，得到的是XOY平面这个子空间：

（1，2，0），（2，2，0），（3，4，0），（5，3，0），等等。子空间的维数是2。

线性空间一定包含零向量。

事实上，作为空间，它对加法和数量乘法都封闭。

所以，若向量 a属于空间V，则-a也属于空间V，

从而a+(-a)=0属于空间V。

总之：

1：线性空间首先满足加法和数乘运算，然后是一个向量空间。

2：线性空间的获得可以认为是坐标轴（基向量）的无限延伸而得到。

3：子空间是原空间的一部分，这一点包括内容的一部分和维度的一部分两个意思。

4：线性空间一定包含零向量。