前言:
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一、直接开平方法:依据的是平方根的意义,步骤是:①将方程转化为x²=p或(mx+n)²=p的形式;②分三种情况降次求解:①当p>0时;②当p=0时;③当p<0时,方程无实数根。需要注意的是:直接开平方法只适用于部分的一元二次方程,它适用的方程能转化为x²=p或(mx+n)²=p的形式,其中p为常数,当p≥0时,开方时要取“正、负。
二、配方法:把一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0(a≥0)左端配成一个含有未知数的完全平方式,右端是一个非负常数,进而可用直接开平方法来求解。一般步骤:移项、二次项系数化成1,配方,开平方根。配方法适用于解所有一元二次方程。
三、公式法:利用求根公式,直接求解。把一元二次方程的各系数代入求根公式,直接求出方程的解。一般步骤为:(1)把方程化为一般形式;(2)确定a、b、c的值;(3)计算b²-4ac的值;(4)当b²-4ac≥0时,把a、b、c及b²-4ac的值代入一元二次方程的求根公式,求得方程的根;当b²-4ac<0时,方程没有实数根。需要注意的是:公式法是解一元二次方程的一般方法,又叫万能方法,对于任意一个一元二次方程,只要有解,就一定能用求根公式解出来。求根公式是用配方法解一元二次方程的结果,用它直接解方程避免繁杂的配方过程。因此没有特别要求,一般不会用配方法解方程。
四、因式分解法:先因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次。一般步骤为:(1)移项:将方程的右边化为0;(2)化积:把左边因式分解成两个一次式的积;(3)转化:令每个一次式都等于0,转化为两个一元一次方程;(4)求解:解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解。需要注意的是:(1)在方程的右边没有化为0前,不能把左边进行因式分解;(2)不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解,即因式分解法只适用部分一元二次方程。
根据上述讲解可以总结出,直接开平方法和因式分解法适合解特殊的一元二次方程,例如缺少一次项的可以用开平方法,缺少常数项的或者形如x² + (p+q)x + pq =0的形式适用因式分解。公式法和配方法可解任意的一元二次方程,对于含有括号的一元二次方程,不要急于去括号,可根据方程的形式选用就因式分解或者开平方法。在在没有规定解法时,解一元二次方程可以按:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法的顺序选择解法。若二次项系数为1,一次项系数为偶数,用配方法较简单。
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