原文:

译文:

弧度与角度

圆的角度为360度，这是一个显而易见的事实，对吗？

错了。大部分人并不知道为什么圆有360度。我们只是把它当作一个神奇的数字，也就是“圆的大小”来记忆，这导致我们以后在物理或数学的学习中，对所谓的“弧度”充满困惑。

专家们说“弧度让数学更容易！”，但是从来不解释其中的原因（其中涉及到的泰勒级数并不简单）。今天让我们揭开弧度的真实一面，以一种更直观化的方法来理解它为什么让数学更简单。

4.1 角度是从哪里来的呢？

在数字与语言发明之前我们有星星。古代文明利用天文学来标记季节，预言未来，安慰神灵（用人献祭时要保持准时）。

这跟角有什么关系呢？呃，小子，猜猜这个：圆有360度，而一年有365天，这个不奇怪吗？在一年之中，星座正好在天空中盘旋，这个不也是很奇怪吗？

你如果是个不懂航海的人的话，肯定不能像海盗那样通过夜空来判断季节。这是2008年，在纽约看大北斗星座（大熊星座）的星图（如图）。

星座每天都要在绕圈。如果你每天都在同一时间（半夜）观察的话，一年之内它们将画出一个完整的圈。这就是角度产生的理论：

人类注意到星座每年都划一个完整的圈每天，它们都移动一点（“一度”）因为一年大概有360天，所以一个圆也就有360度。

但是，但是……为什么不是365度呢？

别太苛求了：它们有日规仪，但是他们不像我们一样精确的知道一年有365.242199天。

360已经是一个足够应付那时的需要了。它非常完美的契合了巴比伦的60进制计数法，而且可以很好的被整除（被2，3，4，6，10，12，15，30，45，90，…………整除，你懂了吧）。

4.2 基于太阳的数学看起来非常合理

地球正好没被选中：一年中有360天很完美。但是这个好像是完全任意的：如果在火星上的话，一火星年较长（火星日也较长，但是你明白其中的要点就好了），所以圆大概有680度。欧洲有些地区使用另一种历法，一个圆大概被分成了400份。

许多解释到这里就结束了，“圆的角度是任意的，但是我们总需要选一个数字来表示吧”，而不是“我们要明白角度的整个假设基础就必须追溯到以前”。

4.3 弧度有规则，角度则是在胡扯

一个角度是一个数字I，观察者，需要倾斜自己的头来看到你，那个运动者。这样有些自私，你不这样认为吗？

你：嗨，比尔，你走了多远呢？

比尔：呃，我的速度不错，大概走了6到7英里吧—

你：闭嘴。为了看到你我的头运动了多远？

比尔：什么？

你：我简单告诉你。我在跑道的中央。你在周围跑。我的头转动了多少？

比尔：你个混蛋。

很自私，是吧？这就是我们怎么用数学的！我们写下方程式“嘿，我的头转动了多少才看见那个星球/摆钟/轮胎移动？”。我敢说你肯定从来没关心过摆钟的感受。

你不认为物理方程式无论是对运动者还是对观察者都应该保持简单吗？

4.4 弧度：不再自私的选择

许多物理问题（包括大部分生活）都需要你选定一个参考系，然后以一个第三者的角度尽心观察。与其关心我们的头转过了多少，不如考虑一下别人走了多远。

角度是通过测量我们的头转过了多少而确定。弧度则是通过测量走过的距离来确定。

但是绝对距离并没有什么用，因为跑道不同，同样走十英里也是不同的。所以我们除以半径来获得一个更一般化的角度：

弧度＝走过的距离/半径

你经常见到的形式是 θ＝s/r，或者是弧度中的圆心角＝弧长除以半径。

一个圆有360度或者是2π弧度——绕圆完整一圈的的距离2πr/r。所以一弧度大概是360/2π或者57.3度。

不过不要像我一样，又在“记忆一个神奇的单位量，57.3度是这么怪”。因为你还是在以一个自私的角度去考虑它。

移动一弧度（单位）是一个很正常的距离。换言之，“干净的90度角”意味着运动了“非常不好看的π/2个单位”。想一想这个—— “嘿，比尔，你能给我跑90度吗？那是什么啊？哦，对了，在你看来那就是距离我π/2英里远的地方。”两种方法都很生分。

弧度是以一种换位的方式来做数学——不再是以观察者的头转动了多少而是以运动者的角度去考虑问题的方法。

严格说来，弧度就是一个比例（两个长度之比），没有范围限制。通俗地讲，我们不是数学机器，这样可以帮助我们认为弧度是走了“一单位圆的距离”。

4.5 使用弧度

我还是习惯使用弧度来思考。但是我们经常会遇到“运动的距离”这一概念：

我们测量一个转动速度时使用“每分钟的转数”而不是“每秒转过的角度”。这是以运动者的参考点（“走了多少圈呢”）来考虑，而不再是考虑任意的角度测量。人造卫星绕地球转动时，我们能理解“英里每小时”这个速度，但是不能理解“角度每小时”这个速度。现在除以距离便得到人造卫星弧度每小时的速度大小。正弦函数，非常神奇的一个函数，可以利用弧度来定义：sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ...

这个公式只有当x是弧度的时候才成立！为什么呢？正弦函数的基础就是移动的距离，而不是以头的转动来衡量。以后我们再详细讨论这个问题。

4.6 弧度示例1：公车的轮胎

让我们举一个现实生活中的例子：你有一个拥有轮胎半径为两米的公车（这是怪物公车）。我说公车轮胎转得有多块，你说从车走得有多快。准备好了吗？

“轮胎每秒转动2000度”，你会这样想：

OK，轮胎每秒转2000度。这就是说2000/360，为5又5/9圈每秒。圆周＝2πr，所以它转动，呃，2乘以3.14乘以5又5/9圈……我的计算器在哪里呢？

“轮胎每秒转动11弧度”，你会这样考虑：

弧度就是沿着单位圆走过的距离——我们只需乘以真实的半径就可以得到我们走过的距离。11乘以2等于22米每秒。下一个问题。

哇哦！没有复杂的方程式，没有麻烦的 π ——只是简单的相乘然后就能把转动的速度转变为直线运动的速度。一切只是因为以弧度来表示。

反过来做也一样容易。假设我们在高速公路（60英里每小时）上以90英尺每秒的速度行使，轮胎为24英寸宽（半径为一英尺），我们的轮胎转得有多块呢？

好的，90英尺每秒/1英尺的半径＝90弧度每秒。

相当简单。我什至认为饶舌歌手也是因为这个原因所以才唱“ 24 rims ”。

4.7 弧度示例2：sin(x)

让我们举个更好的例子。计算涉及到许多东西，其中就有当数字变得很大或者很小的时候会怎么样。

选择一个度数(x)，然后把Sin(x)输入你的计算机：

当你取的x很小时，比如说0.01，Sin(x)也会变得很小。而Sin(x)/x的值大概为0.17——这意味着什么呢？更进一步，乘以或除以一个角度意味着什么呢？你能把角度平方或者立方吗？

弧度就是救世主！它与走过的距离有关（它不止是一个比例！），我们可以这样解释这个方程组：

x是沿着一个圆走了多远sin(x)是你在这个圆上有多高

那么sin(x)/x就是你的高度与你所走过的距离的比：也就是你在向上的方向上你所具有的能量。如果你垂直移动，那么比例就是100%，水平移动就是0%。

如果我们移动一个很小的角度，比如说从0度到1度，那么它基本上就是垂直的移动上去的。如果是更小的角度，比如说是从0度到0.00001度，那么它真的就是垂直移动上去的。移动的距离与它的高度近乎相等。

随着x的缩小，比例逐渐接近100%——更加接近于垂直移动。弧度帮助我们直观化的理解为什么当x足够小的时候 sin(x)/x 接近于 1. 我们只是在垂直方向轻轻向上推了一点而已。而且这也正好揭示了为什么只有x取较小的值的时候，sin(x)约等于x。

记住，这些结果只在以弧度为测量单位时才成立。如果是以角度为单位，你就是在比较你的高度与你的头转过的角度，这个比例变化的贼快。

4.8 那么有很么意义呢？

角度有着它的地位：在我们的生活中，我们处在自己的焦点中，并且观察着周围的事物如何影响我们。我该把我的望远镜倾斜多少度，我的滑雪板应该转过多少度，或者是方向盘应该转过多少度。

我们作为一个观察着描述其他运动的物体是一个自然而然的事。弧度是关于运动物体的，而不是关于我们的。我花了很长时间才意识到这一点：

角度是任意的，因为它是基于太阳运动的（365天~360度），但是因为是基于观察者的角度，所以比较落后。因为弧度是以运动者的角度来定义的，所以公式简单明了。把转动速度变为线性速度相当简单，而且sin(x)/x之类的也有意义。

即使是角也可以从不止一个角度来理解，而理解了弧度可以让数学与物理更加直观。希望你能享受到快乐的数学。(完)