自守数是指一个数的平方的尾数等于该数自身的自然数。例如：

52 = 25 252 = 625 762 = 5776 93762 = 87909376

求100000以内的自守数。

问题分析

根据自守数的定义，求解本题的关键是知道当前所求自然数的位数，以及该数平方的尾数与被乘数、乘数之间的关系。

算法设计

若采用“求出一个数的平方后再截取最后相应位数”的方法显然是不可取的，因为计算机无法表示过大的整数。

分析手工方式下整数平方（乘法）的计算过程，以376为例：

本问题所关心的是积的最后三位。分析产生积的后三位的过程可以看出，在每一次的部分积中，并不是它的每一位都会对积的后三位产生影响。总结规律可以得到：在三位数乘法中，对积的后三位产生影响的部分积分别为：

✪ 第一个部分积中：被乘数最后三位×乘数的倒数第一位。

✪ 第二个部分积中：被乘数最后二位×乘数的倒数第二位。

✪ 第三个部分积中：被乘数最后一位×乘数的倒数第三位。

将以上的部分积的后三位求和后，截取后三位就是三位数乘积的后三位，这样的规律可以推广到同样问题的不同位数乘积中。

分离给定数中的最后几位

从一个两位数（存在变量n中）开始分析，分离最低位个位n%10；对于三位数n，分离最后两位n%100；对于四位数n，分离最后三位n%1000；...，由此可见，若分离出最后x位，只需要用原数对 10x 求余。

从第3部分所举例子可以看出，对于第二个部分积“2632”来说其实应是“26320”， 因为对于乘数中的倒数第二位“7”来说，因其在十位，对应的权值为10，第二个部分积实质上为：376X70=26320。故求部分积的程序段为：

————————

int main ()

{

//...

while(k>0)

{

mul=( mul + ( number%(k*10) )*( number%b - nxuober%(b/10) ) )%a;

/* (部分积+截取被乘数的后N位*截取乘数的第M位），%a再截取部分积*/

k /= 10; /*k为截取被乘数时的系数*/

b *= 10;

}

//...

return 0;

}

对于整个循环来说，变量k是由number的位数确定截取数字进行乘法时的系数。

第1次执行循环体时，被乘数的所有位数都影响到平方的尾数，因此第1个部分积=被乘数*乘数的最后一位，将部分积累加到变量mul上，再对a取余截取相应的尾数位数；

第2次执行循环体，影响平方尾数的是被乘数中除了最高位之外的数（所以k先除以10再参加运算），第2个部分积=被乘数*乘数的倒数第二位，( number%b - number%(b/l0) )用来求乘数中影响平方尾数的对应位上的数；第3次、第4次执行循环体的过程同上。

程序流程图：

下面是完整的代码：

#include<stdio.h>

int main()

{

long mul, number, k, a, b;

printf("It exists following automorphic nmbers small than 100000:\n");

for( number=0; number<100000; number++ )

{

for( mul=number, k=1; (mul/=10)>0; k*=10 );

/*由number的位数确定截取数字进行乘法时的系数k*/

a = k * 10; /*a为截取部分积时的系数*/

mul = 0; /*积的最后n位*/

b = 10; /*b为截取乘数相应位时的系数*/

while(k>0)

{

mul=( mul + ( number%(k*10) )*( number%b - number%(b/10) ) )%a;

/*(部分积+截取被乘数的后N位*截取乘数的第M位)，%a再截取部分积*/

k /= 10; /*k为截取被乘数时的系数*/

b *= 10;

}

if(number == mul) /*判定若为自守数则输出*/

printf("%ld ", number);

}

printf("\n");

return 0;

}

运行结果：

It exists following automorphic nmbers small than 100000:

0 1 5 6 25 76 376 625 9376 90625

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