前言:
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1、什么是树?
树状图是一种数据结构,它是由n(n>=1)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做“树”是因为它看起来像一棵倒挂的树,也就是说它是根朝上,而叶朝下的。它具有以下的特点:
每个节点有零个或多个子节点;没有父节点的节点称为根节点;每一个非根节点有且只有一个父节点;除了根节点外,每个子节点可以分为多个不相交的子树;
树(tree)是包含n(n>0)个结点的有穷集,其中:
(1)每个元素称为结点(node);
(2)有一个特定的结点被称为根结点或树根(root)。
(3)除根结点之外的其余数据元素被分为m(m≥0)个互不相交的集合T1,T2,……Tm-1,其中每一个集合Ti(1<=i<=m)本身也是一棵树,被称作原树的子树(subtree)。
2、相关术语
节点的度:一个节点含有的子树的个数称为该节点的度;
叶节点或终端节点:度为0的节点称为叶节点;
非终端节点或分支节点:度不为0的节点;
双亲节点或父节点:若一个节点含有子节点,则这个节点称为其子节点的父节点;
孩子节点或子节点:一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点;
兄弟节点:具有相同父节点的节点互称为兄弟节点;
树的度:一棵树中,最大的节点的度称为树的度;
节点的层次:从根开始定义起,根为第1层,根的子节点为第2层,以此类推;
树的高度或深度:树中节点的最大层次;
堂兄弟节点:双亲在同一层的节点互为堂兄弟;
节点的祖先:从根到该节点所经分支上的所有节点;
子孙:以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
森林:由m(m>=0)棵互不相交的树的集合称为森林;
二、二叉树
1、什么是二叉树?
二叉树,就是度不差过2的树(节点最多有两个叉)
三、两种特殊的二叉树
1、满二叉树
一个二叉树,如果每一个层的结点数都达到最大值,则这个二叉树就是满二叉树。
2、完全二叉树
叶节点只能出现在最下层和次下层,并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树
满二叉树一定是完全二叉树,但是完全二叉树不一定是满二叉树
四、二叉树的存储方式
1、链式存储方式
a、二叉树的链式存储:将二叉树的节点定义为一个对象,节点之间通过类似链表的链接方式来连接。
b、节点定义
class BiTreeNode: def __init__(self,data): #data就是传进去的节点的值 self.data = data self.lchild = None self.rchild = None
c、二叉树的遍历:
I 、先(前)序遍历:访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前
具体操作:若二叉树非空,则依次执行如下操作:
⑴ 访问根结点;⑵ 遍历左子树;⑶ 遍历右子树。
II、中序遍历:访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中(间)。
具体操作: 若二叉树非空,则依次执行如下操作:
⑴遍历左子树;⑵访问根结点;⑶遍历右子树。
III、后序遍历:访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。
若二叉树非空,则依次执行如下操作:
⑴遍历左子树;⑵遍历右子树;⑶访问根结点。
IV、层次遍历
用一个队列保存被访问的当前节点的左右孩子以实现层序遍历。
二叉树的遍历代码如下
from collections import deque #双向队列from queue import Queue #单向队列# import queue# q = queue.Queue()# q.put('ggg')# q.get()class BiTreeNode: def __init__(self,data): self.data = data self.lchild = None self.rchild = None @classmethod def pre_order(self,root): '''前序遍历(根左右)''' if root: #如果有根节点 print(root.data,end='') self.pre_order(root.lchild) self.pre_order(root.rchild) @classmethod def in_order(self,root): '''中序遍历(左根右)''' if root: self.in_order(root.lchild) print(root.data,end='') self.in_order(root.rchild) @classmethod def out_order(self, root): '''后序遍历(左右根)''' if root: self.out_order(root.lchild) self.out_order(root.rchild) print(root.data, end='') @classmethod def level_order(self,root): '''层次遍历(第一层,第二层,第三层...借助队列来实现)''' queue = deque() queue.append(root) while len(queue) > 0: node = queue.popleft() print(node.data,end='') if node.lchild: queue.append(node.lchild) if node.rchild: queue.append(node.rchild)#创建二叉树a = BiTreeNode("A")b = BiTreeNode("B")c = BiTreeNode("C")d = BiTreeNode("D")e = BiTreeNode("E")f = BiTreeNode("F")g = BiTreeNode("G")e.lchild = ae.rchild = ga.rchild = cc.lchild = bc.rchild = dg.rchild = froot = e#查看前序遍历的结果BiTreeNode.pre_order(root) #EACBDGFprint('')BiTreeNode.in_order(root) #ABCDEGFprint('')BiTreeNode.out_order(root) #BDCAFGEprint('')BiTreeNode.level_order(root) #EAGCFBD
2、顺序存储方式
如上图二叉树标出了元素所对应的索引,那么可以有一下结论
1、父节点和左孩子节点的编号下标有什么关系?
如果已知父亲节点为i,那么他的左孩子节点为2i+1
2、父节点和右孩子节点的编号下标有什么关系?
3、反过来知道孩子找父亲
(n-1)/2=i # 左孩子求父节点
(n-2)/2=i # 右孩子求父节点
五、二叉搜索树
1、定义
二叉搜索树是一棵二叉树且满足性质:设X是二叉树的一个节点。如果Y是X左子树的一个节点,那么Y.key <=X.key;
如果Y是X右子树的一个节点,那么Y.key>= X.key (X.key代表X节点对应的值)
通俗的说也就是 若它的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;若它的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;它的左、右子树也分别为二叉搜索树。
2、原理
二叉排序树的查找过程和次优二叉树类似,通常采取二叉链表作为二叉排序树的存储结构。中序遍历二叉排序树可得到一个关键字的有序序列,一个无序序列可以通过构造一棵二叉排序树变成一个有序序列,构造树的过程即为对无序序列进行排序的过程。每次插入的新的结点都是二叉排序树上新的叶子结点,在进行插入操作时,不必移动其它结点,只需改动某个结点的指针,由空变为非空即可。搜索,插入,删除的复杂度等于树高,O(log(n)).
3、二叉搜索树的创建
可参考链接:
4、二叉搜索树存在的问题
存在的问题:当插入的是有序的时候,假如插入的数据特别多,找是能找到,但是是很花费时间的。
可以有以下解决办法:
1、随机化的二叉搜索树(打乱顺序插入)
2、AVL树
查找方法有:二分查找、二叉搜索树、哈希查找、顺序查找、斐波那契查找
六、AVL树---扩展(了解)
1、AVL树:AVL树是一棵自平衡的二叉搜索树
2、AVL树具有以下性质:
根的左右子树的高度只差的绝对值不能超过1根的左右子树都是平衡二叉树
3、AVL的实现方式:旋转
七、B树
1、B树:B树是一棵自平衡的多路搜索树。常用于数据库的索引
八、其他
最后
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