文 | 卢旸

“我们这个世界，可以用音乐表达，也可以用数学公式来表达。”福建师范大学音乐学院副教授许琛主要从事音乐分析学方面的研究，她立足中国当代音乐创作，以中外经典音乐及其中涌现出来的作曲技术手段为研究对象，引入数学方法探索音乐分析的新策略和方法论。其著作《算法与音乐分析》由文化艺术出版社于近日出版。

数学方法广泛应用于音乐分析

“使用什么工具或方法，取决于你想要解决什么问题。”许琛举例，分析贝多芬《第12钢琴奏鸣曲》时，可以用和声理论去分析，为的是观察音响的布局、比例与秩序、紧张度的产生与消解、不协和和声及其解决等问题；也可以用对位理论去分析，厘清的是声部进行以及多声部织体的关系。20世纪以来，许多作曲家、音乐理论家的知识储备中都有一定数学基础，因此，如今的音乐创作、音乐分析中使用数学方法，是有条件的、大概率的、不可避免的。上世纪70年代以来，数学方法和分析工具在音乐分析主流学派理论中得到了广泛应用。作曲家们致力于引导听众建立“新音乐”听觉体验的同时，也激起了音乐分析将外部音乐体验自觉转化为对内部逻辑与秩序的探究。

2011年，许琛在导师、上海音乐学院教授贾达群指导下，完成博士毕业论文《阿沃·帕特钟鸣音乐研究》，埋下了一颗“音乐与数学相关联”的种子。钟鸣音乐是一种高度形式化的音乐，在研究过程中涉及到“数列”“轮换”等概念，以及揭秘音乐数理逻辑。此后，许琛发表的有关音乐分析的论文中，或多或少都会有数学相关内容辅助阐释作曲家的创作观念。

2016年，许琛赴美访学期间，纽约市立大学研究生院音乐理论教授约瑟夫·内森·斯特劳斯（Joseph N. Straus）常鼓励并引导她摆脱习惯的五线谱分析或文字分析，尝试用几张简单明了的图表，配合简单扼要的文字说明更深层的问题。斯特劳斯本人撰写的《后调性音乐导论》中，便对音乐要素进行量化分析并大量使用几何式表示。他建议许琛，系统学习数学，因为这对音乐分析理论研究大有裨益。

带着音乐问题学数学

许琛2017年回国后，走进大学课堂，和大学生们一起系统学习了高数、高代等专业课程，同时重拾以《无调性音乐的结构》等音乐分析经典原著。不过，学习数学并不轻松。“有时一个知识点就能困扰我很久，更别说用它解决音乐分析问题了。”但是，许琛也发现带着音乐问题学数学，不仅能让学习过程变得轻松有动力，更能时刻启发音乐与数学的联动机制。

通过学习数学，她将矩阵算法引入十二音矩阵分析。分析一个十二音矩阵的形式化特征，回溯一种选优的决策判断，需要进行大量的笔头工作。经过长达数日的严格推导与演绎，突然在一处草稿纸上浮现出“巴赫对角线”分割的“勋伯格致敬巴赫的分块矩阵”时，书桌前的许琛获得了一种持久的审美愉悦。

2020年，许琛读到北京大学教授王杰的著作《音乐与数学》，深受启发，开始构思写作《算法与音乐分析》。2023年，完成书稿的许琛赴北京拜访王杰和北太天元软件开发者之一的卢眺，就书稿内容进行了较为深入的探讨。最终，《算法与音乐分析》作为福建师范大学“2021年新文科研究与改革实验项目”由文化艺术出版社出版。

成为沟通音乐和数学的津梁

《算法与音乐分析》全书分为四部分。第一部分包括前两章，为数和数的应用，基于组合数、素数、完全数、数论等数和计数理论，讨论了与音级集合，限定音高结构的某些特点与求算方法。第二部分包括第三至第六章，为代数与抽象，主要基于线性运算、矩阵算法、群、不变量等理论与方法，讨论了与关联性原则、序列决策等相关的分析方法与分析策略，以及对音高结构的映射变换关系与定量分析的相关研究。第三部分即第七章，为几何与抽象，主要基于图论方法、抽象的几何表示，解决中国音乐创作与分析实践的现实问题。第四部分即第八章，基于排序算法的节奏理论为节奏分析提供新的策略与方法。

作者在书中集结了多种算法，创建问题抽象的模型和明确求解目标，提供了清晰定义的定理、公式、函数表达以用于与音乐分析任务相关的计算、数据处理，实现推理。比如，用代数中的矩阵理论厘清隐藏在音符接续过程中，非线性的、隐伏的声部，并揭示音高关系中最本质的结构。

以数学方法为主导的研究揭示的是各音乐要素及整体结构秩序的数理逻辑，建立了一种适用于量化音乐的数学关系。依靠量化音乐的方法，实现了音乐形式的逻辑化转化与划归以及形式审美的可视化。相较于听觉系统，视觉系统更擅长即时捕捉和辨别大量符号与结构信息，进而辅助听觉系统引导结构聆听，生发审美主体的主观审美意志。

“这或许会使音乐专业同行感到有些陌生、枯燥，但打通数学与音乐之学科壁垒只是时间问题，就像我们适应音高的音名标记转换用整数标记的过程一样。”基于《算法与音乐分析》，许琛在福建师范大学开设音乐与数学的通识性课程，为师范类高校培养具有通识教育背景的应用型、复合型教师教育人才发挥力量。

《算法与音乐分析》既是一本通识性读物，也是一本交叉学科性质的专著，致力于消除文、理、艺专业间的藩篱。“做更多人看得懂的音乐分析。音乐即数学的感性显现，数学即推理的音乐。”许琛希望《算法与音乐分析》能成为沟通音乐和数学的津梁，联结音乐和非音乐两界的坦途。

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