一、本章学习需要利用好初中已学的函数知识和积累的研究函数的经验，进一步提升函数概念的抽象层次，理解重新定义函数概念的必要性，掌握抽象符号表示的方法。

本章学习既要注意体现数学性质的一般思路，又要注意函数性质的特殊性---变化中的规律性，不变性。

二、本章需要掌握的内容提要：

8个重要概念：函数、区间、增函数、减函数、最大值、最小值、奇函数、偶函数

3种表示法：解析法、列表法、图象法

2种重要性质：单调性、奇偶性

1个函数：幂函数

1个应用：函数的应用

三、本章的思想方法归纳

1，数形结合的思想

在画函数的图象时，借助函数的性质会更为简便，如利用函数的奇偶性，只需先画出 y轴右侧的图象便可利用其对称性画出 y 轴左侧的图象（以数助形）。利用函数的性质可以研究函数的图象，反过来可以利用函数的图象研究函数的性质。

2，函数与方程的思想

函数思想具体体现在以下几个方面：

(1）利用函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、图象等解决数学问题； (2）运用函数的观点观察、分析问题中的数量关系，通过函数的形式把这种数量关系表示出来并加以研究，从而解决问题；

(3）对含参数问题的讨论可通过函数与方程的思想综合解决；

(4）在问题研究中，通过构造函数或方程，把所研究的问题转化为函数或方程问题，利用函数性质，达到化难为易、繁为简的目的。

3，化归与转化的思想

求函数的定义域需化为解不等式（组）问题，判断函数的单调性可化归为比较 f(x1), f(x2)大小的问题，判断函数的奇偶性可化归为判断 f(-x)与 f(x)的关系问题等等。化归与转化思想在本章中可谓无处不在。

4，分类与整合的思想

分类与整合的思想应用非常广泛。例如，求解含参数的二次函数在某区间的最值时，一般需对抛物线的对称轴进行讨论，分段函数问题分段处理实质就是对各段分类讨论，含绝对值的函数可通过分类讨论转化为分段函数来解决等等。

四、专题归纳总结

1，几种常见函数及其应用

a,分段函数：对分段函数要注意把握以下问题的处理方法：

(1）分段函数的画图、求分段函数的单调区间、求分段函数的值域或最值、求分段函数的解析式等，这些问题的解法均可用四个字概括一分段处理；

(2）分段函数的求值、分段函数的奇偶性判断，要严格按分段函数的含义及奇偶性的定义来处理；

(3）涉及分段函数的综合问题要灵活把握，注意与有关知识的结合；

(4）含绝对值的函数，实质上是“压缩”后的分段函数，解决含绝对值的函数问题的基本方法是将其“解压”成分段函数来处理。

b,“双曲”函数

形如 y =(ax+b)/(cx+d)(c0,a0)的函数，通过分离常数可转化成y=m+t/(x+n)(t≠0)的形式，故它的图象可由反比例函数y=t/x(t≠0)的图象通过平移得到，其形状与反比例函数y=t/x(t≠0)的图象的形状一样，都是双曲线。故常称其为“双曲”函数。其对称中心是(-n,m)，定义域为{x|x≠-n}，值域为{yly≠m}。

当t＞0时，函数在(-,-n)和(- n,+)上单调递减； 当t<0时，函数在(-,-n)和(- n,+)上单调递增。

c,“对勾”函数

我们常见到形如f(x)= ax+b/x(a>0,b>0)的函数，下面我们来探究它的单调性、奇偶性及图象的形状．

(1）不难看出它的奇偶性，因为函数的定义域为(-,0)U (0,+)，且有f(-x)ニ-ax+b/(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数。

(2）函数 f ( x ）在(-根号下b/a,0)和 (0,根号下b/a)上单调递减；在(-,-根号下b/a)和(根号下b/a,+0)上单调递增。

(3）图象如图所示．这个函数的图象形如两个对勾，因此，我们称它为“对勾”函数，利用这个函数我们可以解决一些函数的单调性、最值与值域等问题。

2，函数性质的综合应用

函数的单调性是函数的重要性质，对于某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化到自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值域、求最值、研究方程根等方面应用非常广泛．而奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇、偶函数的对称性可缩小研究的范围，使求解的问题避免进行复杂的讨论。

有关函数奇偶性与单调性的综合问题，主要有比较大小、解不等式等，关键是利用奇、偶函数的对称性，将不在同一単调区间上的两个自变量的值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性来处理，使问题得以解决。