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文|沐晚

编辑|spoon

引言

量子退火是量子系统在其基态下执行有限时间的过程。因此，该过程固有的非平衡激发产生的功是无效的。

重要的应用，主要是关于避免信息错误的绝热量子计算，可以应用这样的想法。研究量子退火的范例模型是量子伊辛模型。由于二阶相变的存在，其动力学非常丰富，可以通过Kibble-Zurek机制得到很好的解释。

当系统在热力学极限下运行时，这种启发式描述基本上是绝热定理的分解，其主要结果是所执行工作中的通用指数。

近年来，人们努力在弱驱动的背景下理解这种系统，以便在量子计算中产生可能的应用。

特别是，如果将可接受的最优协议扩展到分布函数，已经发现存在通向绝热的通用捷径。然而，这似乎与Kibble-Zurek机制相关的非平衡激发的预期想法形成鲜明对比。

最有可能的是，当系统执行的工作中考虑了比线性订单更高的订单时，就会出现这种效果。

尽管如此，当Kibble-Zurek机制存在时，线性响应框架能否给出最佳协议会发生什么的直觉？

这里的关键词是与系统相关的等待时间，这主要取决于激发能量的测量方式。

特别地进行的测量与Kibble-Zurek机制的启发式时间尺度相同的发散行为的等待时间，与传统工作的测量所提供的空等待时间形成对比。

一、超额工作

考虑一个具有哈密顿量H(λ(t))的量子系统，其中λ(t)是一个随时间变化的外部参数。

最初，该系统与温度为β≡(kBT)的热浴接触，其中kB是玻尔兹曼常数。

然后系统与热浴分离，在切换时间τ内，外部参数从λ0变为λ0+δλ。在此过程中在系统上执行的平均工作。

考虑到这种扰动如何影响可观测和非平衡密度矩阵，线性响应理论旨在表达一些可观测值的平均值，直到某些扰动的一阶为止。

在我们的例子中，我们认为参数在过程中没有显着变化，|g(t)δλ/λ0|≪1，对于所有t∈[0,τ]。使用线性响应理论的框架，广义力可以近似为一阶。

二、时间平均超额工作

执行绝热驱动过程的热隔离系统可以解释为具有随机去相关时间。

因此，在执行该过程的每个时刻，松弛函数都会随之变化。

这与执行等温过程的系统所发生的情况非常相似，其中动力学的随机方面改变了弛豫函数。在这种情况下，我们对工作进行随机平均来纠正这种影响。

在热隔离系统的情况下，我建议将以下时间平均作为解决方案考虑到以下列方式执行的过程数据集中的平均值，可以在实验室中测量此类数量：首先，我们选择切换时间τ。

之后，我们从典型系综中随机选择一个初始条件，并从均匀分布中随机选择一个时间t，其中0<t<τ。去除热浴，我们通过更改外部参数并在最后收集其值来执行工作。

平均而言，生成的数据集将提供时间平均的工作。

在下文中，我将介绍如何使用线性响应理论计算时间平均功以及如何计算系统的去相关时间。

为此，我们定义了时间平均超额工作的概念维克斯=ττWex(t)dt,0，其中W=Wex+Wqs。现在我们观察如何使用线性响应理论计算时间平均的额外工作，Wex(τ)=δλ2τ 吨ψ0(t−t0 0‘˙g(t)˙g(t′)dtdt′,)是时间平均松弛函数。

这意味着计算时间平均超量功与计算平均超量功相同，但具有时间平均松弛函数。同样，这与执行等温过程的系统所发生的情况非常相似，其中对松弛函数取随机平均值。

现在，当用时间平均工作测量时，热隔离系统呈现出去相关时间。事实上，线性响应理论与热力学第二定律相容的条件是ψ0(0)<∞,ψ0(ω)≥0,其中和拉普拉斯变换和傅里叶变换。

因此，类似于等温过程中发生的情况，我们定义了一个新的去相关时间τC:=∞ψ0(t)ψ0(0)dt=ψ0(0)ψ0(0)0<∞。时间平均多余工作的优化，考虑重写的时间平均超额工作协议条款g(t)而不是其导数维克斯=δλ2，2个ψ(0)+δλ2τ˙ψ0(τ−t)g(t)dt0,使用变分法。

我们可以推导出欧拉提供最优协议的拉格朗日方程*(t)系统的最小化时间平均g多余工作Ψ¨0(t−tt)。)g′*)d(tt′=Ψ˙0(τ−特别是最佳不可逆功。

三、接近最优的协议

为了说明线性响应理论成立的一组参数中发散时间的影响，我选择了以下参数：¯h=1，J=1，Γ0=0.999995，δΓ=0.00001，N=104。

在这种情况下，时间=317.099¯h/J。平均等待时间将是最优协议的τ连续线性部分，考虑到τ=1、100、10000，单位为¯h/J。

τw=317.099的最佳方案τ=1、100、10000（分别为红线、黑线和蓝线），均以¯h/J为单位测量。

对于τ≪τw，我们处于Kibble‑Zurek机制成立的状态，并且我们观察到在临界点附近存在暂停。对于τ≫τw，最优协议具有作为连接起点和终点的线的普遍行为。

它被用于¯h=1,J=1,Γ0=0.999995,δΓ=0.00001,N=104。

对于小于时间平均等待时间的切换时间，系统正在执行量子淬火并呈现Kibble‑Zurek机制的效果。

观察到在这种情况下，在最佳协议中的临界点附近暂停的效果类似于突然过程情况，其中τ→0。然而这里的切换时间远大于0，这种效果的出现只是切换和发散时间平均等待时间之间比率的体现。

另请注意，这种效果与文献中先前的结果相同。对于大于时间平均等待时间的切换时间，最优协议往往是一条连接初始点和最终点的线，这是我们的作品预测的普遍行为。

这种效应只发生在有限数量的粒子上，人们可以在其中找到摆脱Kibble‑Zurek机制效应的切换时间。

最后，在热力学极限中，理想情况下，人们仍然可以找到线性响应理论成立的非常小的参数。

然而，在这种情况下，不存在缓慢变化的机制，最佳方案应该只出现在临界点附近的暂停效果。

量子伊辛模型的近最优时间平均超额功。即使τ与其时间平均等待时间相比具有合理的高值，超额工作也接近其最大值。

此外，系统呈现持久性以避免缓慢变化的状态，这表明非平衡效应Kibble‑Zurek仍在系统中，即使在其最佳版本中也是如此。

我现在使用上一节中使用的相同参数分析最佳工作。分析将是定性的，因为我将只使用连续线性部分，这给出了一个很好的近似结果。

首先，我观察到最优方案并不是通向绝热的捷径，与其正常情况相比。还有，因为时间的不同平均等待时间，即使对于相当高的切换时间，时间平均的额外工作的值也接近其最大值。

事实上，向缓慢变化机制的收敛非常缓慢，即使切换时间是时间平均等待时间的10倍，额外工作也不会接近于零。

这表明Kibble‑Zurek机制的非平衡效应在系统中持续存在，即使在很长一段时间内并且在其最佳版本中也是如此。最后，在热力学极限中，不存在缓慢变化的状态，时间平均的过剩功应该只出现最大值。

时间平均工作的方差表达式由方程式给出。我们观察到它与β成正比。由于系统理想地以T=0开始，因此β=∞。

此外，松弛函数不依赖于β，因此工作的最佳方差会发散。当然，这种非典型情况只是一种理想情况，在非常低的温度下进行的实验应该会提供高但有限的波动。

此外，热力学极限的情况不会改变，因为时间平均超额功的值达到其最大值。

通过时间平均功测量激发消耗能量的结果表明它不是与其常规部分相比，数量很大。这是弱流程场景的结论。

然而，这也为强劲的驾驶场景带来了前景。事实上由于用多余功测量的量子伊辛模型的等待时间为零，因此产生绝热的捷径，可能在更高的阶数中应该出现Kibble‑Zurek机制弛豫时间。

这将打破对激发消耗能量的完全抑制，正如我们在时间平均情况下所看到的那样。

四、结语

在这项工作中，我在通过时间平均工作测量激发消耗能量的场景中对量子伊辛链的量子退火过程进行了定性分析。

观察到四个重要特征：缺乏绝热性的捷径，当Kibble‑Zurek机制效应成立时，在最佳方案的临界点附近暂停效应，持续避免缓慢变化的状态，以及时间平均的发散波动多余的工作。

因此，我得出结论，这种测量激发消耗能量的方法没有用。即便如此，由于Kibble‑Zurek机制的非平衡效应可能会出现，因此它带来了如果在常规工作中包含更高阶会发生什么的观点。

参考文献:

1.H. Chen 和 DA 激光雷达，物理学。（2020）。

2.P. Naz e， arXiv 预印本(2023)。

3.P. Naz´e、S. De ner 和 MVS Bonan¸ca，物理通讯杂志(2022)。

4.S. De ner 和 S. Campbell，《量子热力学：量子信息形成的热力学简介》（Morgan & Claypool Publishers，2019 年）。

5.A. Del Campo 和 WH Zurek，国际现代物理学杂志 (2014)。