有限元分析：求解偏微分方程的基本思路

博学多才刘佩 10-01 103

前言：

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有限元分析(Finite Element Analysis，简称FEA)是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程(Partial Differential Equations，PDE)或积分方程。它的基本思路是将连续的求解域离散为有限个简单元(element)的组合，并对每个简单元进行局部求解，从而得到整个求解域的近似解。

有限元分析在工程领域中应用广泛，可用于分析结构、流体、电磁场、热场等各种物理场的性能。通过有限元分析工程师可以在产品设计优化和制造之前预测其性能和行为，从而降低开发成本和减少试验次数。

有限元分析的基本步骤包括：

(1)结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有限个离散单元体，并在单元指定点设置节点。研究单元的平衡和变形协调，形成单元平衡方程。

(2)划分网格：将连续的求解域离散为有限个简单元的组合，并对每个简单元进行局部求解。

(3)建立刚度矩阵：根据每个简单元的几何和物理性质，建立刚度矩阵和载荷向量，从而得到整个求解域的近似解。

(4)解线性方程组：将刚度矩阵和载荷向量带入线性方程组中进行求解，得到每个简单元的节点解。

(5)结果后处理：将节点解进行处理得到所需的结果，如位移、应力、应变等。

有限元分析具有以下优点：

(1)能够处理复杂形状和边界条件的问题。

(2)能够处理多物理场耦合的问题。

(3)能够进行非线性分析如塑性、韧性、蠕变等。

(4)能够进行瞬态分析如冲击、振动等。