2019年浙江省舟山市中考数学试卷

青蓝堂 11-23 180

前言：

眼前咱们对“c求方差的函数”大约比较关心，你们都需要了解一些“c求方差的函数”的相关资讯。那么小编在网上汇集了一些有关“c求方差的函数””的相关资讯，希望你们能喜欢，你们一起来了解一下吧！

2019年浙江省舟山市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）

1．（3分）﹣2019的相反数是（　　）

A．2019 B．﹣2019 C．

D．﹣

2．（3分）2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆．数据380000用科学记数法表示为（　　）

A．38×104 B．3.8×104 C．3.8×105 D．0.38×106

3．（3分）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A．

B．

C．

D．

4．（3分）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（　　）

A．签约金额逐年增加

B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多

C．签约金额的年增长速度最快的是2016年

D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%

5．（3分）如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（　　）

A．tan60° B．﹣1 C．0 D．12019

6．（3分）已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则（　　）

A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．

＞

7．（3分）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（　　）

A．2 B．

C．

D．

8．（3分）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（　　）

A．

B．

C．

D．

9．（3分）如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A（1，2），B（3，3）．作菱形OABC关于y轴的对称图形OA'B'C'，再作图形OA'B'C'关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是（　　）

A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）

10．（3分）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：

①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；

②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；

③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；

④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．

其中错误结论的序号是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．（4分）分解因式：x2﹣5x＝　　．

12．（4分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为　　．

13．（4分）数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为　　（用“＜”号连接）．

14．（4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　　．

15．（4分）在x2+　　+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．

16．（4分）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为　　cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为　　cm2．

三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提示：做解答题，别忘了写出必要的过程；作图（包括添加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑．

17．（6分）小明解答“先化简，再求值：

，其中x＝

+1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

18．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．

19．（6分）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝

的图象上．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．

20．（8分）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

21．（8分）在推进嘉兴市城乡生活垃圾分类的行动中，某社区为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况进行调查．其中A、B两小区分别有500名居民参加了测试，社区从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：

【信息一】A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：

【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：

【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：

小区

平均数

中位数

众数

优秀率

方差

75.1

40%

277

75.1

45%

211

根据以上信息，回答下列问题：

（1）求A小区50名居民成绩的中位数．

（2）请估计A小区500名居民成绩能超过平均数的人数．

（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．

22．（10分）某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．

（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．

（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，

1.73）

23．（10分）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．

（2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P'，画正方形P'Q'M'N'，使Q'，M'在BC边上，N'在△ABC内，连结BN'并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PPQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”．

（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM＝

时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

24．（12分）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝

t﹣

刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣

（t﹣h）2+0.4刻画．

（1）求h的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：

生长率p

0.2

0.25

0.3

0.35

提前上市的天数m（天）

①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；

②请用含t的代数式表示m．

（3）天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃时，每天的成本为200元，该作物30天后上市时，根据市场调查：每提前一天上市售出（一次售完），销售额可增加600元．因此给大棚继续加温，加温后每天成本w（元）与大棚温度t（℃）之间的关系如图2．问提前上市多少天时增加的利润最大？并求这个最大利润（农作物上市售出后大棚暂停使用）．

2019年浙江省舟山市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）

1．（3分）﹣2019的相反数是（　　）

A．2019 B．﹣2019 C．

D．﹣

【分析】根据相反数的意义，直接可得结论．

【解答】解：因为a的相反数是﹣a，

所以﹣2019的相反数是2019．

故选：A．

【点评】本题考查了相反数的意义．理解a的相反数是﹣a，是解决本题的关键．

2．（3分）2019年1月3日10时26分，“嫦娥四号”探测器飞行约380000千米，实现人类探测器首次在月球背面软着陆．数据380000用科学记数法表示为（　　）

A．38×104 B．3.8×104 C．3.8×105 D．0.38×106

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：380000＝3.8×105

故选：C．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

3．（3分）如图是由四个相同的小正方形组成的立体图形，它的俯视图为（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．

【解答】解：从上面看易得第一层有1个正方形，第二层有2个正方形，如图所示：

故选：B．

【点评】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的正面看得到的视图．

4．（3分）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（　　）

A．签约金额逐年增加

B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多

C．签约金额的年增长速度最快的是2016年

D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%

【分析】两条折线图一一判断即可．

【解答】解：A、错误．签约金额2017，2018年是下降的．

B、错误．与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多．

C、正确．

D、错误．下降了：

≈9.3%．

故选：C．

【点评】本题考查折线统计图，解题的关键是理解题意读懂图象信息，属于中考常考题型．

5．（3分）如图是一个2×2的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a可以是（　　）

A．tan60° B．﹣1 C．0 D．12019

【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．

【解答】解：由题意可得：a+|﹣2|＝

+20，

则a+2＝3，

解得：a＝1，

故a可以是12019．

故选：D．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

6．（3分）已知四个实数a，b，c，d，若a＞b，c＞d，则（　　）

A．a+c＞b+d B．a﹣c＞b﹣d C．ac＞bd D．

＞

【分析】直接利用等式的基本性质分别化简得出答案．

【解答】解：∵a＞b，c＞d，

∴a+c＞b+d．

故选：A．

【点评】此题主要考查了等式的性质，正确掌握等式的基本性质是解题关键．

7．（3分）如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC延长线于点P，则PA的长为（　　）

A．2 B．

C．

D．

【分析】连接OA，根据圆周角定理求出∠AOP，根据切线的性质求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．

【解答】解：连接OA，

∵∠ABC＝30°，

∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，

∵过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点P，

∴∠OAP＝90°，

∵OA＝OC＝1，

∴AP＝OAtan60°＝1×

＝

，

故选：B．

【点评】本题考查了切线的性质和圆周角定理、解直角三角形等知识点，能熟记切线的性质是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．

A．

B．

C．

D．

【分析】直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马二匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．

【解答】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：

．

故选：D．

【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．

A．（2，﹣1） B．（1，﹣2） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）

【分析】根据题意可以写出点C的坐标，然后根据与y轴对称和与原点对称的点的特点即可得到点C″的坐标，本题得以解决．

【解答】解：∵点C的坐标为（2，1），

∴点C′的坐标为（﹣2，1），

∴点C″的坐标的坐标为（2，﹣1），

故选：A．

【点评】本题考查旋转变化、轴对称变化，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

10．（3分）小飞研究二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）性质时如下结论：

①这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上；

②存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形；

③点A（x1，y1）与点B（x2，y2）在函数图象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，则y1＜y2；

④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围为m≥2．

其中错误结论的序号是（　　）

A．① B．② C．③ D．④

【分析】根据函数解析式，结合函数图象的顶点坐标、对称轴以及增减性依次对4个结论作出判断即可．

【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）

①∵顶点坐标为（m，﹣m+1）且当x＝m时，y＝﹣m+1

∴这个函数图象的顶点始终在直线y＝﹣x+1上

故结论①正确；

②假设存在一个m的值，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形

令y＝0，得﹣（x﹣m）2﹣m+1＝0，其中m≤1

解得：x＝m﹣

，x＝m

∵顶点坐标为（m，﹣m+1），且顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形

∴|﹣m+1|＝|m﹣（m﹣

）|

解得：m＝0或1

∴存在m＝0或1，使得函数图象的顶点与x轴的两个交点构成等腰直角三角形

故结论②正确；

③∵x1+x2＞2m

∴

∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m为常数）的对称轴为直线x＝m

∴点A离对称轴的距离小于点B离对称轴的距离

∵x1＜x2，且﹣1＜0

∴y1＞y2

故结论③错误；

④当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，且﹣1＜0

∴m的取值范围为m≥2．

故结论④正确．

故选：C．

【点评】本题主要考查了二次函数图象与二次函数的系数的关系，是一道综合性比较强的题目，需要利用数形结合思想解决本题．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．（4分）分解因式：x2﹣5x＝　x（x﹣5）　．

【分析】直接提取公因式x分解因式即可．

【解答】解：x2﹣5x＝x（x﹣5）．

故答案为：x（x﹣5）．

【点评】此题考查的是提取公因式分解因式，关键是找出公因式．

12．（4分）从甲、乙、丙三人中任选两人参加“青年志愿者”活动，甲被选中的概率为　

　．

【分析】画出树状图，共有6个等可能的结果，甲被选中的结果有4个，由概率公式即可得出结果．

【解答】解：树状图如图所示：

共有6个等可能的结果，甲被选中的结果有4个，

∴甲被选中的概率为

＝

；

故答案为：

．

【点评】本题考查了树状图法求概率以及概率公式；画出树状图是解题的关键．

13．（4分）数轴上有两个实数a，b，且a＞0，b＜0，a+b＜0，则四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为　b＜﹣a＜a＜﹣b　（用“＜”号连接）．

【分析】根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于0，即可得出答案．

【解答】解：∵a＞0，b＜0，a+b＜0，

∴|b|＞a，

∴﹣b＞a，b＜﹣a，

∴四个数a，b，﹣a，﹣b的大小关系为b＜﹣a＜a＜﹣b．

故答案为：b＜﹣a＜a＜﹣b

【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是本题的关键．

14．（4分）如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连结OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为　

　．

【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，根据勾股定理求出OC，代入求出即可．

【解答】解：连接OD，如图，

∵CD⊥OC，

∴∠COD＝90°，

∴CD＝

＝

，

当OC的值最小时，CD的值最大，

而OC⊥AB时，OC最小，此时OC＝

，

∴CD的最大值为

＝

AB＝

1＝

，

故答案为：

．

【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．

15．（4分）在x2+　±4x　+4＝0的括号中添加一个关于x的一次项，使方程有两个相等的实数根．

【分析】要使方程有两个相等的实数根，即△＝0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数即可．

【解答】解：

要使方程有两个相等的实数根，则△＝b2﹣4ac＝b2﹣16＝0

得b＝±4

故一次项为±4x

故答案为±4x

【点评】此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0 时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．

16．（4分）如图，一副含30°和45°角的三角板ABC和EDF拼合在个平面上，边AC与EF重合，AC＝12cm．当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC方向滑动．当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长为　（24﹣

）　cm；连接BD，则△ABD的面积最大值为　（

+36

﹣

）　cm2．

【分析】过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M，由直角三角形的性质可得BC＝

，AB＝

，ED＝DF＝

，由“AAS”可证△D'NE'≌△D'MF'，可得D'N＝D'M，即点D'在射线CD上移动，且当E'D'⊥AC时，DD'值最大，则可求点D运动的路径长，由三角形面积公式可求S△AD'B＝

BC×AC

×AC×D'N﹣

×BC×D'M＝

（12﹣

）×D'N，则E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值．

【解答】解：∵AC＝12cm，∠A＝30°，∠DEF＝45°

∴BC＝

，AB＝

，ED＝DF＝

如图，当点E沿AC方向下滑时，得△E'D'F'，过点D'作D'N⊥AC于点N，作D'M⊥BC于点M

∴∠MD'N＝90°，且∠E'D'F'＝90°

∴∠E'D'N＝∠F'D'M，且∠D'NE'＝∠D'MF'＝90°，E'D'＝D'F'

∴△D'NE'≌△D'MF'（AAS）

∴D'N＝D'M，且D'N⊥AC，D'M⊥CM

∴CD'平分∠ACM

即点E沿AC方向下滑时，点D'在射线CD上移动，

∴当E'D'⊥AC时，DD'值最大，最大值＝

ED﹣CD＝（12﹣

）cm

∴当点E从点A滑动到点C时，点D运动的路径长＝2×（12﹣

）＝（24﹣

）cm

如图，连接BD'，AD'，

∵S△AD'B＝S△ABC+S△AD'C﹣S△BD'C

∴S△AD'B＝

BC×AC

×AC×D'N﹣

×BC×D'M＝

（12﹣

）×D'N

当E'D'⊥AC时，S△AD'B有最大值，

∴S△AD'B最大值＝

（12﹣

）×

＝（

+36

﹣

）cm2．

故答案为：（24﹣

），（

+36

﹣

）

【点评】本题考查了轨迹，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，三角形面积公式等知识，确定点D的运动轨迹是本题的关键．

17．（6分）小明解答“先化简，再求值：

，其中x＝

+1．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

【分析】1

【解答】解：

【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握异分母分式的减法法则是解题的关键．

18．（6分）如图，在矩形ABCD中，点E，F在对角线BD．请添加一个条件，使得结论“AE＝CF”成立，并加以证明．

【分析】根据SAS即可证明△ABE≌△CDF可得AE＝CF．

【解答】解：添加的条件是BE＝DF（答案不唯一）．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠ABD＝∠BDC，

又∵BE＝DF（添加），

∴△ABE≌△CDF（SAS），

∴AE＝CF．

【点评】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．

19．（6分）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝

的图象上．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O'A'B'当这个函数图象经过△O'A'B'一边的中点时，求a的值．

【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C，根据等边三角形的性质得出点A坐标，用待定系数法求得反比例函数的解析式即可；

（2）分两种情况讨论：①反比例函数图象过AB的中点；②反比例函数图象过AO的中点．分别过中点作x轴的垂线，再根据30°角所对的直角边是斜边的一半得出中点的纵坐标，代入反比例函数的解析式得出中点坐标，再根据平移的法则得出a的值即可．

【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C，

∵△OAB是等边三角形，

∴∠AOB＝60°，OC＝

OB，

∵B（4，0），

∴OB＝OA＝4，

∴OC＝2，AC＝

．

把点A（2，

）代入y＝

，得k＝

．

∴反比例函数的解析式为y＝

；

（2）分两种情况讨论：

①点D是A′B′的中点，过点D作DE⊥x轴于点E．

由题意得A′B′＝4，∠A′B′E＝60°，

在Rt△DEB′中，B′D＝2，DE＝

，B′E＝1．

∴O′E＝3，

把y＝

代入y＝

，得x＝4，

∴OE＝4，

∴a＝OO′＝1；

②如图3，点F是A′O′的中点，过点F作FH⊥x轴于点H．

由题意得A′O′＝4，∠A′O′B′＝60°，

在Rt△FO′H中，FH＝

，O′H＝1．

把y＝

代入y＝

，得x＝4，

∴OH＝4，

∴a＝OO′＝3，

综上所述，a的值为1或3．

【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，掌握直角三角形、等边三角形的性质以及分类讨论思想是解题的关键．

20．（8分）在6×6的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图：

（1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形．

（2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段AB三等分（保留画图痕迹，不写画法）．

【分析】（1）由勾股定理得：CD＝AB＝CD'＝

，BD＝AC＝BD''＝

，AD'＝BC＝AD''＝

；画出图形即可；

（2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可．

【解答】解：（1）由勾股定理得：

CD＝AB＝CD'＝

，BD＝AC＝BD''＝

，

AD'＝BC＝AD''＝

；

画出图形如图1所示；

（2）如图2所示．

【点评】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理；熟练掌握勾股定理好平行线分线段成比例定理是解题的关键．

【信息一】A小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）：

【信息二】上图中，从左往右第四组的成绩如下：

【信息三】A、B两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：

小区

平均数

中位数

众数

优秀率

方差

75.1

40%

277

75.1

45%

211

根据以上信息，回答下列问题：

（1）求A小区50名居民成绩的中位数．

（2）请估计A小区500名居民成绩能超过平均数的人数．

（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析A，B两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．

【分析】（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75；

（2）A小区500名居民成绩能超过平均数的人数：500×

＝240（人）；

（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．

【解答】解：（1）因为有50名居民，所以中位数落在第四组，中位数为75，

故答案为75；

（2）500×

＝240（人），

答：A小区500名居民成绩能超过平均数的人数240人；

（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；

从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；

从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．

【点评】本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．

（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米（精确到0.1米）？

（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，

1.73）

【分析】（1）过点C作CG⊥AM于点G，证明AB∥CG∥DE，再根据平行线的性质求得结果；

（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，通过解直角三角形求得DE，

过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，如图3，通过解直角三角形求得求得DH，最后便可求得结果．

【解答】解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，

∵AB⊥AM，DE⊥AM，

∴AB∥CG∥DE，

∴∠DCG＝180°﹣∠CDE＝110°，

∴BCG＝∠BCD﹣∠GCD＝30°，

∴∠ABC＝180°﹣∠BCG＝150°；

（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，

在Rt△CPD中，DP＝CP×cos70°≈0.51（米），

在Rt△BCN中，CN＝BC×cos30°≈1.04（米），

所以，DE＝DP+PQ+QE＝DP+CN+AB＝2.35（米），

如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，

在Rt△CKD中，DK＝CD×cos50°≈1.16（米），

所以，DH＝DK+KH＝3.16（米），

所以，DH﹣DE＝0.8（米），

所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米．

【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．

23．（10分）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（1）温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC＝6，AD＝4，求正方形PQMN的边长．

（3）推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形．

（4）拓展：在（2）的条件下，在射线BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM（如图3）．当tan∠NBM＝

时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题．

【分析】（1）理由相似三角形的性质构建方程即可解决问题．

（2）根据题意画出图形即可．

（3）首先证明四边形PQMN是矩形，再证明MN＝PN即可．

（4）证明△BQE∽△BEM，推出∠BEQ＝∠BME，由∠BME+∠EMN＝90°，可得∠BEQ+∠NEM＝90°，即可解决问题．

【解答】（1）解：如图1中，

∵PN∥BC，

∴△APN∽△ABC，

∴

＝

，即

＝

，

解得PN＝

．

（2）能画出这样的正方形，如图2中，正方形PNMQ即为所求．

（3）证明：如图2中，

由画图可知：∠QMN＝∠PQM＝∠NPQ＝∠BM′N′＝90°，

∴四边形PNMQ是矩形，MN∥M′N′，

∴△BN′M′∽△BNM，

∴

＝

，

同理可得：

＝

，

∴

＝

，

∵M′N′＝P′N′，

∴MN＝PN，

∴四边形PQMN是正方形．

（4）解：如图3中，结论：∠QEM＝90°．

理由：由tan∠NBM＝

＝

，可以假设MN＝3k，BM＝4k，则BN＝5k，BQ＝k，BE＝2k，

∴

＝

，

＝

，

∴

＝

，

∵∠QBE＝∠EBM，

∴△BQE∽△BEM，

∴∠BEQ＝∠BME，

∵NE＝NM，

∴∠NEM＝∠NME，

∵∠BME+∠EMN＝90°，

∴∠BEQ+∠NEM＝90°，

∴∠QEM＝90°．

【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．

24．（12分）某农作物的生长率p与温度t（℃）有如下关系：如图1，当10≤t≤25时可近似用函数p＝

t﹣

刻画；当25≤t≤37时可近似用函数p＝﹣

（t﹣h）2+0.4刻画．

（1）求h的值．

（2）按照经验，该作物提前上市的天数m（天）与生长率p满足函数关系：

生长率p

0.2

0.25

0.3

0.35

提前上市的天数m（天）

①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；

②请用含t的代数式表示m．

【分析】（1）把（25，0.3）代入p＝﹣

（t﹣h）2+0.4，解方程即可得到结论；

（2）①由表格可知，m是p的一次函数，于是得到m＝100p﹣20；

②当10≤t≤25时，p＝

t﹣

，求得m＝100（

t﹣

）﹣20＝2t﹣40；当25≤t≤37时，根据题意即可得到m＝100[﹣

（t﹣h）2+0.4]﹣20＝﹣

（t﹣29）2+20；

（3）（Ⅰ）当20≤t≤25时，（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，根据二次函数的性质即可得到结论．

【解答】解：（1）把（25，0.3）代入p＝﹣

（t﹣h）2+0.4得，0.3＝﹣

（25﹣h）2+0.4，

解得：h＝29或h＝21，

∵h＞25，

∴h＝29；

（2）①由表格可知，m是p的一次函数，

∴m＝100p﹣20；

②当10≤t≤25时，p＝

t﹣

，

∴m＝100（

t﹣

）﹣20＝2t﹣40；

当25≤t≤37时，p＝﹣

（t﹣h）2+0.4，

∴m＝100[﹣

（t﹣h）2+0.4]﹣20＝﹣

（t﹣29）2+20；

（3）（Ⅰ）当20≤t≤25时，

由（20，200），（25，300），得w＝20t﹣200，

∴增加利润为600m+[200×30﹣w（30﹣m）]﹣40t2﹣600t﹣4000，

∴当t＝25时，增加的利润的最大值为6000元；

（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，

增加的利润为600m+[200×30﹣w（30﹣m）]＝900×（﹣

）×（t﹣29）2+15000＝﹣

（t﹣29）2+15000；

∴当t＝29时，增加的利润最大值为15000元，

综上所述，当t＝29时，提前上市20天，增加的利润最大值为15000元．

【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围．

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