算术是数学中最古老、最基础的部分，它研究数的性质及运算，是最古老的数学分支之一，也是数学的“起点”之一，数的概念的产生及初步的算术运算的形成可追溯到史前时期。而在古代中国，很早便有了算术的发展，是世界上最早采用十进制的国家。

中国古代的计数方式，主要有：文字、算策、四则运算几种。包括我们现在熟悉的天干和地支，最初也是一种计数的方式。既然是侧重计数，那么它的表达文字自然会经过多次的发展和更换，而要推测它们的起源，光从文字上去解析是远远不够的。

中国古代数学很早便形成了独特的应用体系，用来计算加减乘除的九九乘法表在战国时期已经非常流行。而《九章算术》也是典型的代表，在《九章算术》中有完整的分数运算法则，对比例问题、盈亏问题都进行了研究并给出相应的算法；给出开方运算的法则和具体的计算方法；给出正负数的加减法则等。后来刘徽为该书作注，进一步使用了十进小数，提出分数和比例计算的一些新方法。《张邱建算经》和《孙子算经》则对不定方程进行了研究，由后者的一个问题发展出孙子定理这样举世闻名的成就和大衍求一术这种独特的算法。《数术记遗》系统研究了各种大数进位法和计算方法，其中一种大数进位法与现代方法相近。用分数来逼近某个重要数值也是中国古代的一项著名的算术成就。

不仅在数学的应用领域有发展，中国古代的各种世界观，例如盖天说，浑天说，也建立在古人创造的宇宙模型的数值计算基础下。例如现存最古老的中国数学文献《周髀算经》，即通过对宇宙天体的位置和运行规律的计算，构建了古典天文学的宇宙模型。在书内，开篇即言明：数之法，出于圆方。圆出于方，方出于矩。矩出于九九八十一。故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。……故禹之所以治天下者，此数之所生也。交代了大禹之所以治理洪水有效，源于对洪水的规律的了解，以及掌握了对堤坝建造的几何数值的测定。因此中国古代的数学起源，与百姓的生存繁衍密不可分。

即使没有现代的各种计算辅助工具，在几千年前的中国古代，依然可以计算较为复杂的各种算术。我们知道九九乘法表可以满足十以内的加减乘除的计算，而如果将九九乘法表进行扩展，那么就可以满足更为复杂的乘除，甚至是开方，根号运算，比如清华简内发现的“大九九”算表。

这些竹简共有21支，长度在43.5-43.7厘米之间，其中完整的有17支，另外4支上端有残缺。每支简的上端，都有一个圆孔。还有一支是没有书写文字的空白简，上面有20个圆孔，这些孔内都留有丝带残留物。将竹简进行整理，文字换成数字，就得出了如下的图形：

竹简内容整理出来之后，人为的分成三大区域，分别是最上方和最右边的基础数字区，用于提取因数，分别占一横行和一竖列；往里一层是穿孔的拉线区域，这些区域穿线，当计算某2组或者多组数字的运算时，分别可以让竹简拉直，出现直线的痕迹，用于标记结果；再往里一层，就是各种有规律的数字集合。

这个表怎么进行乘除和开平方运算呢？

例如：45×86，将乘数和被乘数先进行拆分：45×86=（40+5）×（80+6），然后在在最上面的横区找出40和5的位置，拉直线。在最右边的竖区找出80和6，然后拉直线，将它们相交的4个数字进行相加。

45×86=（40+5）×（80+6）=3200+400+240+30=3870，计算得出结果。

而三位或者多位数的相乘，你可以先计算出两位的结果，再计算更多位。

计算除法的原理一样，比如：5088÷96，先将除数拆分为（90+6），由右侧功能区引出直线，然后再这两条横线的数字上，找出两个数相加之和等于或者小于但最接近5088的数，那么图中可以找（4500+540）=5040，看这两个数对应的最上方横行的数字，取其整数位，即5与50，我们取50作为商数的十位，如下：

5088-5040=48，我们再在两条拉线区域找出两个数相加之和等于或者小于但最接近48的数，且需要两位置不同，其中更小的数尽可能大。那可以找到（12+36）、（18+30），分别对应（2与6）、（3与5），由于是个位数，我们取（3与5）中的3，那么最后结果就是十位数加上个位数，就等于50+3=53。

而三位或者多位数的除法，你可以先计算出两位的结果，再计算更多位。

以上是乘除的运算，而开平方的原理也一样，例如：求3481的平分根。

因为在表中，只有下图的斜边位置为两相同数相乘的结果，所以我们在这条线上找数字。

找到比3481小，又与3481最接近的数，即线上的2500，而2500对应的功能区的数字为50，那么3481开方的结果必定是50-60之间，而十位数取5。

3481-2500=981，将结果除以2得538.5，再在2500的横轴线上找小于538.5，且最接近的数，那么只有450，标记450，引出竖线，对应横轴功能区的9，那么最后3481的结果就是50+9=59。

这图在计算开方时，其实还是有缺陷的，比如计算3577，十位数得出5，而个位数得出10，那么只能退一位取9，因为结果不可能超过60，而且3577的结果不可能是整数。造成这一问题的原因，在于这个表的数字不够多，如果把10-20，20-30……之间的数补全的话，结果就会更精确。

这一种计算的思维，在现代称作“微分法”。古人有没有进行过类似的计算不得而知，但是这个表是可以做到的。

该表实际上是九九乘法表的扩展，其核心是九九乘法表，即如下红色区域：

在横数轴功能区，将1-9进行了二次扩展，扩展到90，并且引入了1/2的概念，自然也有它们的平分1/4。只要功能区数字确定之后，再将其它栏的数字按照规律依次补全即可，这些数字的排列都是有规律的，所以该图的制作逻辑并不难，只要有九九乘法表即可制作出来。加减乘除的计算，采用拆分的形式，只要超出了个位数的计算，通过图表中的圆孔拉线，即可快速的找出答案，本质还在于九九乘法表。

中国最早采用十进制，不是因为古人多么能创造，而是华夏文化本就是效法天地，依据天体的运动规律制作宇宙模型，并将该模型内日月的节点代入到生活运用中，单独由太阳历和太阴历便会产生十进制和十二进制两种计数方式，而重点不在于古人只能掰十个手指头。对于数学的发展应用，中国可以算是“起了个大早，赶了个晚集”，原因是因为在历史发展中，后世侧重了易学的“象数理”的理法，忽略易数的“格物”和探究，所以造成了物质与精神的畸形发展，就像一个天平，两头都过偏，而偏的形式各有不同。