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微积分解说——曲线弧长计算

数理土豆饼 344

前言:

眼前姐妹们对“弧长计算方式”大致比较关心,你们都需要分析一些“弧长计算方式”的相关资讯。那么小编同时在网上网罗了一些对于“弧长计算方式””的相关内容,希望各位老铁们能喜欢,看官们快快来了解一下吧!

微积分的内容有的教材叫成 高等数学,高等就高等在提高了抽象级别,使得一些实际问题计算起来更高效。比如说, 用 积分计算 曲线围成 的面积,就比用小学初中和高中数学中,常讲到的割补法高效多了。

曲线弧长计算, 也是微积分几何应用的重要方面。

用细线纺成一根粗麻绳,计算麻绳的长度,按直线算 和 按细线的长度算,结果是不一样的。 这样就涉及到一个问题, 什么是曲线的长度? 曲线的长度和直线段的长度是什么样的关系。

深入追究这个问题, 归根结底,又扯到极限定义那里了。

从微积分的角度看,什么是曲线的弧长, 就是把曲线分隔成无穷多的小段, 每段的弧线长度按连接起点和终点的直线段算, 当小段的间隔趋于无穷小时,如果这些线段的长度和有极限值存在, 那这个极限值,就是这个曲线的弧长。

那万一有人规定了一个函数, 按这个办法计算以后,极限不存在如何办?

那这个函数的曲线弧,就是不可求长的。

对于 光滑的曲线弧,都是可求长的。

好了,那曲线弧长如何计算呢?

对于平面直角坐标表示的曲线方程,用如下公式

这个公式不像计算曲线和 x 轴围成的面积,直接对曲线函数积分, 那这个 公式是如何推导出来的呢?

用参数方程来理解这个公式 更容易。

对于用参数方程表示的平面曲线,有如下公式,参数方程就是个好的思维方式,如果要计算三维空间里的曲线弧长,是不是也很容易推广,如果三维空间里曲线,用直角坐标方程表示,那曲线弧长计算公式的推导就更绕了。

这个参数方程,形式上 对 x,y 是对称的, 推导出的曲线弧长计算公式,对x 和 y 也是对称的。更容易理解和记忆。 对于 参数t 的一个 微小变化 dt, 在x 轴方向上的 坐标变化, 可以用 dt 乘以,x的参数方程的在这一点的导数值来逼近。 只要dt 足够小,差别就是高阶无穷小。 对 y 轴方向上的坐标变化, 也是类似。 再用勾股定理,计算出斜边长度,再积分,就是上边这个公式了。

有了 参数方程表示的曲线弧长的计算公式, 平面直角坐标的公式,只要把平面直角坐标方程表示为 参数方程,就可以推导出来,如下图

用极坐标 表示的 曲线,其弧长计算公式,也可以套用参数方程的弧长计算公式 推导出来,如下图

现在算一个具体的例子, 下边是 摆线的 图像。

摆线的参数方程式 这样的

上边图像中,画的是 a=1 的情形, 现在 计算上边 图形中 ,摆线一拱的长度, 也就是

参数方程中,参数 从 0 变化到 2 时弧线的长度

摆线长度计算

上边 计算中, 直接套用 参数方程 弧线长度 计算公式就可以了 。计算过程中会用到 三角恒等变换。

有了 微积分, 类似于 摆线 这样 复杂 的 曲线 也可以轻松计算弧长,微积分的力量,就体现出来了 。

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