微积分的内容有的教材叫成 高等数学，高等就高等在提高了抽象级别，使得一些实际问题计算起来更高效。比如说， 用 积分计算 曲线围成 的面积，就比用小学初中和高中数学中，常讲到的割补法高效多了。

曲线弧长计算， 也是微积分几何应用的重要方面。

用细线纺成一根粗麻绳，计算麻绳的长度，按直线算 和 按细线的长度算，结果是不一样的。 这样就涉及到一个问题， 什么是曲线的长度？ 曲线的长度和直线段的长度是什么样的关系。

深入追究这个问题， 归根结底，又扯到极限定义那里了。

从微积分的角度看，什么是曲线的弧长， 就是把曲线分隔成无穷多的小段， 每段的弧线长度按连接起点和终点的直线段算， 当小段的间隔趋于无穷小时，如果这些线段的长度和有极限值存在， 那这个极限值，就是这个曲线的弧长。

那万一有人规定了一个函数， 按这个办法计算以后，极限不存在如何办？

那这个函数的曲线弧，就是不可求长的。

对于 光滑的曲线弧，都是可求长的。

好了，那曲线弧长如何计算呢？

对于平面直角坐标表示的曲线方程，用如下公式

这个公式不像计算曲线和 x 轴围成的面积，直接对曲线函数积分， 那这个 公式是如何推导出来的呢？

用参数方程来理解这个公式 更容易。

对于用参数方程表示的平面曲线，有如下公式，参数方程就是个好的思维方式，如果要计算三维空间里的曲线弧长，是不是也很容易推广，如果三维空间里曲线，用直角坐标方程表示，那曲线弧长计算公式的推导就更绕了。

这个参数方程，形式上 对 x,y 是对称的， 推导出的曲线弧长计算公式，对x 和 y 也是对称的。更容易理解和记忆。 对于 参数t 的一个 微小变化 dt, 在x 轴方向上的 坐标变化， 可以用 dt 乘以，x的参数方程的在这一点的导数值来逼近。 只要dt 足够小，差别就是高阶无穷小。 对 y 轴方向上的坐标变化， 也是类似。 再用勾股定理，计算出斜边长度，再积分，就是上边这个公式了。

有了 参数方程表示的曲线弧长的计算公式， 平面直角坐标的公式，只要把平面直角坐标方程表示为 参数方程，就可以推导出来，如下图

用极坐标 表示的 曲线，其弧长计算公式，也可以套用参数方程的弧长计算公式 推导出来，如下图

现在算一个具体的例子， 下边是 摆线的 图像。

摆线的参数方程式 这样的

上边图像中，画的是 a=1 的情形， 现在 计算上边 图形中 ，摆线一拱的长度， 也就是

参数方程中，参数 从 0 变化到 2 时弧线的长度

摆线长度计算

上边 计算中， 直接套用 参数方程 弧线长度 计算公式就可以了 。计算过程中会用到 三角恒等变换。

有了 微积分， 类似于 摆线 这样 复杂 的 曲线 也可以轻松计算弧长，微积分的力量，就体现出来了 。