作业02集合的基本运算

学生版

1．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．

（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；

（Ⅱ）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．

　2．设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=∅，求m的范围．

3．已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，

（1）当a=0时，求A∩B，A∪（CRB）；

（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．

4．已知全集U=R，集合A={x|﹣3≤x≤4}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．

（1）若m=3时，求A∪（∁UB）；

（2）若A∪B=A，试求实数m的取值范围．

5．已知集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），B={x|x2﹣4x+a=0，a∈R}．

（Ⅰ）若A∩B≠∅，求a的取值范围；

（Ⅱ）若A∩B=B，求a的取值范围．

6．已知全集U=R，集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．

（1）m=3时，求A∪（∁UB）；

（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．

7．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（m+1）x+（m2﹣5）=0}

（1）若A∩B={2}，求实数m的值；

（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．

8．设全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，若A∩∁UB={2}，求a、b的值．

9．已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}．

（1）若集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，求实数t的取值范围；

（2）若集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，且A∩B={x|2≤x≤3}，求实数a的取值范围．

10．已知A={x|x2+x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B=R，求a、b的值．

11．已知集合，关于x的不等式|x|＜2的解集为B

（1）求A∩∁RB；

（2）设P={x|x∈A∩∁RB，x∈Z}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围．

12．已知集合，集合B={x||x﹣a|≤1，x∈R}．

（1）求集合A；

（2）若B∩∁RA=B，求实数a的取值范围．

13．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．

（1）若a=2，求A∩B，A∩（∁RB）；

（2）若A∪B=R，求a的取值范围．

答案版

1．已知全集U=R，集合A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．

（Ⅰ）求图中阴影部分表示的集合C；

（Ⅱ）若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），求实数a的取值范围．

【解答】解：（Ⅰ）因为A={x|1≤x≤3}，B={x|x=m+1，m∈A}．

所以B={x|2≤x≤4}，

根据题意，由图可得：C=A∩（CUB），

因为B={x|2≤x≤4}，则CUB={x|x＞4或x＜2}，

而A={x|1≤x≤3}，则C=A∩（CUB）={x|1≤x＜2}；

（Ⅱ）因为集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤4}，

所以A∪B={x|1≤x≤4}，．

若非空集合D={x|4﹣a＜x＜a}，且D⊆（A∪B），

则有，

解得2＜a≤3，

即实数a的取值范围为（2，3]．

　2．设集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若A∩B=∅，求m的范围．

【解答】解：集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，

若A∩B=∅，

当B=∅，可得m+1＞2m﹣1，解得m＜2；

当B≠∅，可得或，

得或，

即为m∈∅或m＞4，

综上可得m的范围是m＞4或m＜2．

3．已知集合A={x|a≤x≤a+8}，B={x|x＜﹣1或x＞5}，

（1）当a=0时，求A∩B，A∪（CRB）；

（2）若A∪B=B，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）当a=0时，A={x|0≤x≤8}，

∵B={x|x＜﹣1或x＞5}，全集为R，

∴A∩B={x|5＜x≤8}，∁RB={x|﹣1≤x≤5}，

则A∪∁RB={x|﹣1≤x≤8}；

（2）∵A∪B=B，∴A⊆B，

∴a+8＜﹣1或a＞5，

解得：a＜﹣9或a＞5．

4．已知全集U=R，集合A={x|﹣3≤x≤4}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．

（1）若m=3时，求A∪（∁UB）；

（2）若A∪B=A，试求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）m=3时，B={x|2≤x≤7}，∁UB={x|x＞7或x＜2}，

A={x|﹣3≤x≤4}，

则A∪（∁UB）={x|x≤4或x＞7}；

（2）若A∪B=A，则B⊆A，

①B=∅时，可得m﹣1＞3m﹣2 解得m＜；

②B≠∅时，可得，解得．

综上所述，m≤2．

5．已知集合A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），B={x|x2﹣4x+a=0，a∈R}．

（Ⅰ）若A∩B≠∅，求a的取值范围；

（Ⅱ）若A∩B=B，求a的取值范围．

【解答】解：令f（x）=x2﹣4x+a=（x﹣2）2+a﹣4，则对称轴为x=2，

（Ⅰ）由题意得B≠∅，∴△=16﹣4a≥0，解得a≤4…①

∵A∩B≠∅，又∵A=（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），

∴f（3）＜0，解得a＜3…②，

由①②得，实数a的取值范围为（﹣∞，3）．

（Ⅱ）∵A∩B=B，

∴B⊆A，当△=16﹣4a＜0，即a＞4时，B=∅，这时满足A∩B=B，

当△=16﹣4a≥0时，B≠∅，此时a≤4…③，

∵B⊆A，

∴f（﹣1）＜0，解得a＜﹣5…④，

由③④，得a＜﹣5．

综上所述，得实数a的取值范围为（﹣∞，﹣5）∪[4，+∞）．

6．已知全集U=R，集合A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}，B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}．

（1）m=3时，求A∪（∁UB）；

（2）若A∩B=B，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）把m=3代入得：B={x|2≤x≤7}，

∴∁UB={x|x＜2或x＞7}，

∵A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}={x|﹣3≤x≤4}，

∴A∪（∁UB）={x|x≤4或＞7}；

（2）∵A∩B=B，

∴B⊆A，

∴当B=∅，即m﹣1＞3m﹣2，此时m＜；

当B≠∅，即m﹣1≤3m﹣2，此时m≥，则有，

解得：﹣2≤m≤2，此时≤m≤2，

综上，m的范围是{m|m≤2}．

7．已知集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（m+1）x+（m2﹣5）=0}

（1）若A∩B={2}，求实数m的值；

（2）若A∪B=A，求实数m的取值范围．

【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x2+2（m+1）x+（m2﹣5）=0}

∵A∩B={2}，∴2∈B．

即4+4（m+1）+（m2﹣5）=0，解得m=﹣1或m=﹣3

若m=﹣1，x2﹣4=0，x=±2符合题意；

若m=﹣3，x2﹣4x+4=0，x=2符合题意；

综上：m=﹣1或m=﹣3；

（2）∵A∪B=A，∴B⊆A

①B=∅，△=4（m+1）2﹣4（m2﹣5）＜0，即m＜﹣3

②B为单元集，△=0得m=﹣3，若m=﹣3时，B={2}符合

③B为双元集，则B={1，2}．由无解

综上：m取值范围是{m|m≤﹣3}．

8．设全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，若A∩∁UB={2}，求a、b的值．

【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2+ax﹣12=0}，B={x|x2+bx+b2﹣28=0}，

若A∩∁UB={2}，则2∈A，

可得4+2a﹣12=0，解得a=4，

即有A={x|x2+4x﹣12=0}={2，﹣6}，

则﹣6∈B，

可得36﹣6b+b2﹣28=0，

解得b=2或b=4，

则B={﹣6，4}或B={﹣6，2}．

显然b=4舍去．

故a=4，b=2．

9．已知集合A={x|x2﹣3x+2≥0}．

（1）若集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，求实数t的取值范围；

（2）若集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，且A∩B={x|2≤x≤3}，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）集合A={x|x2﹣3x+2≥0}={x|x≤1或x≥2}，

∵集合B={x|x≤t}，且A∪B=R，

∴t≤2，

（2）∵集合B={x|x2﹣ax+b≤0}，

令x2﹣ax+b=0，

∵A∩B={x|2≤x≤3}，

∴3是方程x2﹣ax+b=0的一个根，且△=a2﹣4b＞0

∴9﹣3a+b=0，

∴b=3a﹣9，

∴a2﹣4（3a﹣9）=a2﹣12a+36=（a﹣6）2＞0，

解得a≠6

∵方程的另一个根为x+3=a，

即x=a﹣3，∵A∩B={x|2≤x≤3}，

∴1＜a﹣3≤2，

解得4＜a≤5

故a的取值范围为（4，5]

10．已知A={x|x2+x＞0}，B={x|x2+ax+b≤0}，且A∩B={x|0＜x≤2}，A∪B=R，求a、b的值．

【解答】解：集合A={x|x2+x＞0}={x|x＜﹣1或x＞0}

∵A∪B=R

∴B中的元素至少有{x|﹣1≤x≤0}

∵A∩B={x|0＜x≤2}，

∴B={x|﹣1≤x≤2}

∴﹣1，2是方程x2+ax+b=0的两个根，

∴a=﹣1，b=﹣2

即a，b的值分别是﹣1，﹣2．

11．已知集合，关于x的不等式|x|＜2的解集为B

（1）求A∩∁RB；

（2）设P={x|x∈A∩∁RB，x∈Z}，Q={x|m﹣1≤x≤m+1}若P中只有两个元素属于Q，求m的取值范围．

【解答】解：集合={x|﹣3＜x＜4}，

关于x的不等式|x|＜2的解集为B={x|﹣2＜x＜2}；

（1）∁RB={x|x≤﹣2或x≥2}，

∴集合A∩∁RB={x|﹣3＜x≤﹣2或2≤x＜4}；

（2）P={x|x∈A∩∁RB，x∈Z}={﹣2，2，3}，

Q={x|m﹣1≤x≤m+1}，

若P中只有两个元素属于Q，

则，或，

解得m∈∅，或2≤m≤3，

∴m的取值范围是2≤m≤3．

12．已知集合，集合B={x||x﹣a|≤1，x∈R}．

（1）求集合A；

（2）若B∩∁RA=B，求实数a的取值范围．

【解答】解：（1）由，得⇒﹣1＜x≤2，

∴A=（﹣1，2]．

（2）CRA=（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞），B=[a﹣1，a+1]，

由B∩CRA=B，得B⊆CRA，

所以a+1≤﹣1或a﹣1＞2

所以a的范围为（﹣∞，﹣2]∪（3，+∞）．

13．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．

（1）若a=2，求A∩B，A∩（∁RB）；

（2）若A∪B=R，求a的取值范围．

【解答】解：（1）a=2时，集合A={x|（x﹣1）（x﹣2）≥0}=（﹣∞，1]∪[2，+∞），

B={x|x≥2﹣1}={x|x≥1}=[1，+∞）；

A∩B={1}∪[2，+∞）；

∁RB=（﹣∞，1），

∴A∩（∁RB）=（﹣∞，1）；

（2）当a＞1时，A=（﹣∞，1]∪[a，+∞），B=[a﹣2，+∞）；

若A∪B=R，则a﹣2≤1，∴1＜a≤3；

当a=1时，易得A=R，此时A∪B=R；

当a＜1时，A=（﹣∞，a]∪[1，+∞），B=[a﹣2，+∞），

若A∪B=R，则a﹣2≤a，显然成立，∴a＜1；

综上，a的取值范围是（﹣∞，3]．