非线性科学 nonlinear science

20世纪80年代前后形成的一门跨学科前沿研究领域。研究范围横跨数学、物理学、化学、天文学、地学、生物学等传统自然科学学科，贯穿数理科学、生命科学和技术科学，其研究目的是揭示各种非线性现象的共性，发展处理这些共性问题的普适方法。

1.线性与非线性线

非线性是数学上用于描述变量之间关系的术语。所谓线性，指量与量之间的正比关系。线性系统中部分之和等于整体，描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的解加起来仍然是解。非线性表示量与量之间的正比关系不成立，叠加原理失效，非线性方程的两个解之和不再是方程的解。

线性和非线性物理现象的区分有三个特征：

①从运动形式上有定性区别。线性现象一般表现为时空中的平滑运动，并可用简单的函数表示；而非线性现象则往往涉及从规则运动向不规则运动的转化和跃变。

②从系统对外界小扰动和系统参量微小变动的响应看，线性系统的响应平缓；而非线性系统中系统参量的极微小变化，在一些关节点上也可引起系统运动形式的定性改变。

非线性系统在响应外界激励时行为上可与外界激励有本质区别。如周期驱动的非线性振动系统中可出现驱动频率的分频，而不像线系统中那样仅重复外界频率，或简单和频差频。

③反映在连续介质中的波动上，线性行为表现为色散引起的波包弥散，结构消失；而非线性作用却可促使空间结构的形成和维持，如孤立子、涡旋、突变面等。

自然界大量存在的相互作用都是非线性的，如力学中两个质点间的牛顿引力，电学中的静电库仑力等都是非线性相互作用。描述这些相互作用下物体运动规律的数学方程是非线性方程，常见的平面单摆运动方程便是一个经典的非线性方程。

由于非线性方程必须分别求解，一直到20世纪60年代，在物理学和其他技术学科中充分发展的领域几乎都是采取线性模型或把非线性方程作线性化处理后发展起来的。

如电磁学的麦克斯韦方程组，量子力学的薛定谔方程都是线性偏微分方程。线性问题的研究取得了极大的成功。线性系统存在普适的处理办法，如线性代数方程求解、线性常微分方程和偏微分方程求解、傅里叶级数展开、积分变换（傅里叶变换、拉普拉斯变换等）、点源函数方法等。利用这些方法解决了大量科学技术问题，为现代科学技术发展谱写了光辉篇章。

世界本是非线性的，线性模型和线性化方法只是在一定范围内适用的近似，其局限性日益暴露。如弹性力学的胡克定律在大变形情况下不再适用，气体动力学的线性化方程对高超速流动和爆炸波传播失效，强声场和强电磁场情况下原有的线性声学和线性电磁学理论显得无能为力。

而且，许多问题本质上就是非线性的，线性近似完全不能适用。如流体力学中的纳维-斯托克斯方程，物理学中的广义相对论场方程，反映基本粒子相互作用的非阿贝尔群规范场以及杨-米尔斯场方程等。

除数理科学和工程技术之外，在化学、生命科学和经济学等社会科学方面，也提出大量非线性问题。要解决这些问题，必须发展系统处理非线性问题的理论和方法。

2.非线性科学的形成

非线性问题个性很强，只能对具体问题作具体分析。历史上虽曾解过一些非线性方程，但与大量存在的非线性方程相比，只能算是风毛麟角。因而对非线性问题的研究，长期以来一直分散在自然科学和技术的各领域。

而对非线性问题的挑战，各门学科虽都程度不同地发展了自己的非线性研究，如非线性动力学、非线性光学、非线性声学等，但直到20世纪60年代初，对非线性问题的研究基本上都还只在本学科内部进行。

20世纪60年代中期，从非线性系统的可积和不可积两个极端方向，几乎同时取得了突破。一方面，从可积系统的一端，通过对描述浅水波运动的KdV方程的数值计算，揭示了方程具有出奇稳定且性质保守的解，即所谓孤立子。这启发人们发展了求解一大类非线性偏微分方程的普遍数学方法——反散射方法。反散射方法扩展了哈密顿力学中原有的可积性概念，此一方法80年代向量子问题的推广，导致了可积问题与统计物理学中严格可解模型之间关系的发现。

20世纪60年代初还证明了弱不可积保守系统普遍性质的KAM定理，从而非线性问题的可积的极端便清楚地勾画出来，成为一个广泛的研究领域。

另一方面，在不可积系统一端，无论在保守系统还是耗散系统中，在天文学、气象学、生态学等领域中都发现了确定性系统的随机性表现——混沌运动。

从对KAM定理条件不成立时系统行为的分析中，认识到保守力学系统中随机地运动的普遍性；在耗散系统研究中，发现了一批奇怪吸引子和混沌运动的实例。

这些研究迅速融为一体，改变了自然观中确定性与随机性的概念，认识到原来不含有任何外来随机因素的完全确定论的数学模型和物理系统，其长时间行为可能对初值的微小变化极为敏感，同掷骰子一样随机和不可预测。

与以研究进展几乎同时，计算科学的发展和计算机应用的普及，导致了“计算物理”和“实验数学”，两个研究领域的诞生。科学工作者用计算机为研究手段，以理解和模拟许多过去用解析方法无从下手和研究的复杂现象。从随机与结构共存的湍流现象，到自然界大量存在的各种斑图花纹的选择和生长，以及生物形态的发生过程，都开始展现出其内在规律。

20世纪70年代初分形几何学的兴起，不仅为非线性科学研究增加了新的内容，而且为各门科学研究提供了新的数学工具。分形概念刻画自相似结构复杂性，适于进行曾被认为是十分“肮脏”或“病态”的，难以用普通点、线、面等概念的描述。

以上各方面研究的进展，打破了非线性问题研究长期分散在各门学科内部的局面，也使研究的侧重点从对单个非线性问题的具体探索转向研究各种非线性系统的共性和普适行为。这些研究的汇合，20世纪80年代前后导致了非线性科学这一贯穿数理科学、生命科学和技术科学领域的跨学科前沿学科的形成。

3.主要研究内容

非线问题普遍存在的客观事实，导致非线性科学研究的多样性和持久性。从普适性的观点出发，非线性科学研究的前沿主要集中在以下方向：

3.1.孤立子和可积系统的数学理论

KdV方程孤立子的发现，推动了非线性问题中可积系统普遍方法的建立。数学方面发展了系统的孤立子理论，诸如反散射方法、达布变换方法、广田方法等，为除KdV方程之外的一大类从物理学和工程技术中提出的非线性方程（如非线性薛定谔方程、S-G方程、KP方程、DS方程等的求解提供了系统方法。

同时，孤立子理论的发展，大大推进了经典可积系统的研究，并使之与微分几何、李群和李代数等数学研究领域密切联系起来。量子反散射方法的建立，揭示了杨-巴克斯特方程的深刻内涵。通过相应的李群分析，建立起杨-米尔斯场方程与孤立子方程之间的联系。在物理学和其他科学方面，孤立子理论提供的普遍方法，使得在流体、等离子体、凝聚态物理、光物理、海洋、大气系统以及高分子化合物、生物系统中发现了各种孤立子。

迄今理论研究上最清楚的孤立子，都还是空间一维的。但实验室发现或自然界呈现的相干结构，如流体和等离子休中的涡旋、大气中的台风等，其维数明显高于一维。建立高维孤立子的理论，从实验和理论上探索它们之间相互作用的规律，是当前孤立子研究的重要课题。

与孤立子研究密切相关的可积系统数学理论研究，正在朝经典系统的可积性理论、非线性偏微分方程的精确求解方法等方向上深入。

3.2.混沌

混沌运动、奇怪吸引子、通向混沌道路等概念的提出，开阔了理论和实验工作者的思路。

从20世纪80年代开始，在等离子体放电系统、非线性电路、声学和声光耦合系统、激光器和光学双稳装置、化学振荡反应、动物心肌细胞的强迫振动、野生动物种群的数目消长、人类脑电波信号乃至社会经济活动（如股票市场的一些指数变化）等领域内到处发现混沌现象，充分显示出混沌运动是许多非线性系统的典型行为。

作为非线性科学主要研究领域，混沌研究正在向如下方向深入。

①过渡过程的深入描述。以往研究的混沌多属长时间的渐远行为，缺少对过渡过程的深入探讨。为理解生命现象及社会经济活动等相对历史而言的过渡过程，有必要细化与时间有关的过渡过程的普适类划分乃至引入新的临界指数。

②混沌吸引子的精细刻画。混沌吸引子可通过李雅普诺夫指数、各种熵和维数等刻画。李雅普诺夫指数量度邻近轨道以指数函数形式随时间分离的速率，熵量度无序程度，维数则描述奇怪吸引子作为分形对象的几何特征。然而这些刻画方式仍然不足以全面精细勾画奇怪吸引子，有必要引入新的特征量。解决如何从实验数据中提取这些特征量，提出定量描述更一般复杂系统的方法是研究的核心问题。

③时空混沌。迄今研究较好的混沌现象，还仅限于自由度系统随时间变化的行为。为了真正理解湍流发生榌制，直至理解发达湍流，必须研究在时间和空间上兼备近无规性的演化行为——时空混沌。由于时空混沌涉及无穷多自由度，采用离散化模型是必要的中间步骤。

④量子混沌。量子体系存在与经典体系的混沌运动相对应的不规则运动。量子混沌研究的基本途径，是采用解析和数值方法寻找各种典型量子系统所表现的非微扰特征，阐明这些特征与经典混沌的联系。

⑤混沌的控制。混沌运动普遍存在于各类非线性系统，某些混沌运动是不需要的或有害的，某些混沌运动又是所希望的或有利的。混沌控制研究的内容是通过影响非线性系统，抑制有害混沌，或引导系统进入目标态。

3.3.分形和分维

分形和分维概念的提出，为传统欧氏几何难于处理的具有不规则几何形体系统的定量描还提供了系统的数学方法。

作为非线性科学研究的前沿领域，对分形的深入探讨正从数学和物理两个方面开展。数学研究的重点在于分形的维数理论和测度的分形理论两个方面。研究的内容主要是各种自相似集的性质和分类，各种分形维数的实质差异与关系，多重分形的测度分析等。

物理研究方面，已在理想分形上的相变、临界动力学、分形上的动力学、动力学中的分形、多重分形和各类分形生长模型等方面做了大量工作，但探索各种分形结构形成的理仍是一大挑战。

3.4.斑图形成和动力学

斑图是普遍存在于自然界的空间和时间上具有某种规律性的非均匀宏观结构。可分为两类：一类是在热力学平衡状态下形成的，如无机化学中的晶体结构或聚合物中自组织形成的结构花样；另一类是在远离热力学平衡条件下产生的斑图，如天空的条状云、动物的体表花纹等。前一类斑图可根据平衡态热力学和统计物理原理分析，已有较好的理论解释。后一类斑图由于远离热力学平衡态，须从动力学角度对其形成的原因和规律作探讨。后一类斑图曾经是耗散结构理论的研究对象，现成为非线性科学的另一前沿领域——斑图形成和动力学。

斑图形成和动力学研究的典型问题，包括伯纳德对流斑图、转动圆柱中的流动花样、化学振荡和图林斑图、振动颗粒系统中斑图等。对这些问题的研究，揭示出远离热力学平衡态系统在临界点附近动力学行为的共性，表明系统失稳时会出现时空对称性破缺。

不同对称性破缺规定了新的时空结构的自组织形成、选择和稳定性。斑图研究涉及流体、等离子体、化学反应系统、材料科学和生命科学等领域，不仅对深入理解这些远离热力学平衡态系统的行为有意义，更为重要的是，它为探索自然世界的复杂性提供了有效方法。

4.非线性科学的意义

非线性科学现已揭示的普遍规律和提供的普适方法，已广泛渗透于自然科学和技术科学的各部门，成为人们探索复杂非线性现象的有力工具。尤为重要的是，非线性科学的发展使人们对于自然界的认识发生了革命建变化。孤立子的发现使人们认识到非线性作用可产生严格的规整性，混沌现象的研究使人们看到确定性系统存在着内在的随机性，分形和分维的研究揭示了看来极不规则的几何形体原来具有特定的规律，斑图研究更使人们休验到在远离热力学平衡态时大自然的自组织能力。

这些发现大大冲击了人们固有的自然观。复杂性可由简单的非线性作用规则产生，随机性可和确定性共存，局部能够反映整体，均匀状态可产生结构，这些由线连理论出发似乎完全不可理解的概念，正在深化人们对必然性和偶然性、量变和质变、局部与整体、有序和无序等哲学范畴的全面理解。

非线性科学是一门正在发展中的科学。现已揭示的非线性现象共同规律和处理这些问题的方法，对于理解和处理无处不存在的非线性问题仍是十分初步的，具有很大的局限性。揭示新的普遍规律，发展新的普适方法，不断推进非线性科学的深入发展，是人类理解世界复杂性的长期任务。

推荐书目

郝植林. 从抛物线谈起：混沌动力学引论. 上海：上海科技教育出版社，1993.

谷超豪. 别有洞天：非线性科学. 长沙：湖南科学技术出版社，2001.

摘自：《中国大百科全书（第2版）》第6册，中国大百科全书出版社，2009年