灵机一动

数学是思维的体操，很多数学问题的解答往往就闪现在你的灵机一动之中。本栏目精选数学中的好题、趣题，以及最能锻炼数学思维的题呈现给大家，希望给你带来思考的乐趣。

本期问题来了

NO. 4

特殊子集

集合S＝｛1，2，…，2017｝，A为S的一个子集，A的元素个数为k。

（1）若A中任选3个元素，都不满足a＋b＝c，求k的最大值。

（2）若A中任选4个元素，都不满足a＋b＝c＋d，求k的最大值。

（3）若A中任选4个元素，都不满足ab＝cd，求k的最大值。

来源：题友论坛 @松鼠会2.71828

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上期问题回顾

NO. 3

填数

0－9每个数字只能用一次，数字要放入着色相同的方框中，问有几种可能，分别是什么？

分析与解答

答案：只有一种可能，739×2222＝1642058。

此题有很多种方法可以得出正确答案，下面解答供大家参考。

第一种：被乘数是739，乘积是1642058.明显，被乘数最大是975，此时乘积是7位数，但首位是2，不符合要求，所以，乘积的首位只能是1.当被乘数首位是9且取最小值时，是935，此时乘积为，乘积仍然是首位是2的七位数，不符合要求，当被乘数首位是3且取最大值时，是397，乘积是六位数，所以被乘数首位只能是5或者7，首位是5有六种情况，分别，537,573,539,593,579,597，分别试算，都不合适，同理首位是7也有六种情况，分别试算只有739合适，此时乘积是1642058.完毕。

第二种：为讨论方便，用a、c分别代表乘数和商，然后考虑它们的上下限来逐步逼近。首先，c的上限可设定为2222×1000＝2222000，于是它的第一位必然是1，从而上限可缩小到1864290，下限可设定为1024638。a的上限可设定为1864290÷2222＝839(所有结果直接取整)，从而缩小到795；下限为1024638÷2222＝461，调整为537。再根据a的上下限推出c的上下限分别是1766490、1193214，可调整为1684290、1204638；再反推出a的上下限是758、542，相应调整为753、573；由此推出c的上下限是1673166、1273206，调整为1648290、1280436；再反推出a的上下限为741、576，调整为739、579；再推出c的上下限是1642058(正好合乎要求)、1286538，下限调整为1402638；继续反推出a的下限为631，调整为735，此时与上限重合，说明没有其他答案了。

此文选载自微信公众号好玩的数学（ID：mathfun）