2022年高考数学1卷第19题-求二面角的大小

如图， 直三棱柱ABC-A’B’C’的体积为4， 三角形A’BC的面积为2√2，

求（1）A到平面A’BC的距离。

求（2）设D是A’C的中点，AA’=AB, 平面A’BC垂直于平面ABB’A’, 求二面角A-BD-C的正弦值。

解法：本题的第一问已经解出，在头条文章中可见。现在尝试解第二个问题。

方法1：利用二面角的定义，做出二面角。

如图，连接DA， DB。

由于平面A’BC垂直于平面ABB’A’， 则CB垂直于平面A’B’BA(证明从略)

设A’A=AB=a, BC=b, 根据三角形ABC的面积为S=ab/2 ，以及棱柱的体积V=Sa=4

可得a·b/2·a=4, (1)

此外A’B=√2a , 所以三角形A’BC的面积A=√2a·b/2=2√2

因此ab=4, (2)

由(1)和（2）得出， a=b=2,

在三角形ADB中做AP垂直于DB， P是垂足。连接CP，

根据已知的边长，可以求出

AC=2√2

A’C=2√3

这样AD=CD=√3

DAB和DCB是两个全等的三角形，所CP垂直于DB， 且AP=CP，说明∠APC就是所求的二面角。

现在求出AP即可以用余弦定理求出cos∠APC ,

在三角形APB中， 利用勾股定理可以求出

DP=1/√3

AP=2√6/3

求解过程参考如下图形：

在三角形APC中，由于三条边都已经知道，根据余弦定理

最后sin∠APC=√3/2

解法2：需要空间向量的知识

由于两个平面的夹角等于两个平面的法线的夹角， 因此只要求出各自平面的法线，就可以求出二面角。 参见头条文章两个平面夹角的计算。

如图做AP垂直于A’B, 根据前面的计算和推导可以知道各条边的长度，显然AP垂直于A’BC , 因此AP是平面BCD的一个法线。可以确定以下几个点的坐标：

A（0，2,0）， B（0,0,0），C（2,0,0），D（1,1,1）， P（0,1,1）

向量AP=（0，-1， 1）

由于头条无法排版，用黑字斜体来代表向量。下面类似。

现在设法求出平面ABD的一个法向量，设这个法向量为r=(x, y, z)

r·BD=0

r·BA=0

所以有2y=0

和x+y+z=0,

因为法向量许多，这里取r=(1, 0, -1)

若两个法向量的夹角为α，根据前面的链接， 套用公式：

cosα=-1/(√2·√2)=-1/2

而α就是所求的二面角，

因此sinα=√3/2