定积分计算体系详谈内容综述基本方法基本性质基本结论与技巧基本题型（每个类型的特征+解题要点）如何用好题型问题简单谈谈。本次文稿仅作为梳理问题，基于不定积分计算的前提下，希望能给人以帮助，在这一部分就统考的数学而言，个人建议可以借助题型分类，从而可以根据不同类型的题干本身的特征，快速定位题型，进而锁定方法方向，更有针对性解决问题。

要想定积分计算的快，准，易，除不定积分基础外，应当把该背的公式和方法梳理清楚。

定积分计算体系

基本方法2.1 牛顿莱布尼茨公式

图片-02 牛顿莱布尼茨公式

前提条件请自己查。本来原函数存在，与定积分是否存在，但牛顿莱布尼茨公式建立起了两者的关系，给出了：用原函数求定积分的方法。 因此，不定积分计算必然是基础。

公式两步走：1.算原函数（不定积分）；2.代上下限2.2 定积分的换元法（注意条件，涉及到个别题开根号之后取值正负）

图-03 摘选自《复习指南》

定积分换元法(3换步骤）：1.换元 x=g(t)；2.换微元：dx=dg(t)=g'(t)dt； 3.换上下限：x=a，则t=m;x=b,则t=n[一一对应]

相比不定积分换元法而言，定积分换元不需要回代，只用把对应的上下限值改掉即可。

图-04 摘选自《同济教材高数》

简化定积分换元手法：先凑微分，再平衡系数，将来换微元的时候就不用求导了。

图-05 简化定积分换元的一个手法

2.3 定积分的分布积分法

图-06 分部积分法

基本性质

07-基本性质

08-基本性质

结论：定积分的值只与积分区间，被积分函数有关，与其积分变量x的记号无关，当被积分函数仅含积分变量，且上下限为常数的时候，其值为一个数K.

09-会识别是个数

此类题的解题要点：识别定积分=K，两边积分构造A=K+BA的等式进而解出A。

基本结论与技巧（背多分）

1.定积分的几何意义（借用熟悉的平面图形的面积来求解）

易错点：定积分与面积的概念是有区别的，经过实测2019考研数学真题求围绕面积的那个大题很多同学上来写错了表达式，甚至看了答案后还不知为何套了绝对值。实则基本概念出现了问题，因此要重视基本概念，定理和结论的前提条件。

10-来自百度文库某位老师的PPT

11-常用定积分几何意义公式

2.对称区间上的积分性质：

要点：1.先看整体以及局部是否具有奇偶对称性，有就用相应的结论 ;  2.没有则转化到正区间看“f(x)+f(-x)” 设其中g(x)=f(x)+f(-x)→先看是否能约分化简；否则再拿去g(x)求导看导数是否为0，若导数为0，则恒为常数g(x)=g(0)(找特殊点）≡K（算常数）通常考研数学的题，这个点一般会是提出一部分因子，剩余部分要么能化简约分；要么恒为常数找个特殊点算出来；当然再往深一步，就是分部积分法抵消一部分。

12-摘选某书

13-典型例题

3.周期函数，三角函数的基本公式与结论

周期函数

华里士公式你会熟练用吗？此外后期的伽马函数你也会灵活用吗？

华里士公式

上述结论要求会证会用，要敏感，证明见同济教材定积分换元部分例题，这一节的例题都是典型例题。

4.要灵活运用分项积分与结合积分，分部积分法

小技巧

基本题型分类（关注：分类的特征+解题要点 ）

题型1：基本型：属于大众脸，不特殊的常规性。

识别特征：如何识别呢？排除【下文】特殊几个典型题型，剩余的就是它-基本型。解题要点：方向→牛顿莱布尼茨公式， 算原函数，代上下值 方法→凑微分，换元法，分部积分法前提：不定积分中常见的换元结构要记住。根式etc

牛顿莱布尼茨公式

偶尔可能需要先处理下求出表达式，（符号的运用，整体代换）

例题

题型2：对称区间类型

典型特征：区间上下限相反数对称→1s就可以识别出来了吧。解题要点：见前文基本结论部分，

对称区间

题型3：分段函数，|*|，max min，sign

典型特征:形如这类分段函数的特征，我想题干表达式很鲜明的特征，你肯定会识别。解题要点:形如∫f(g(t))dt,先做变量替换u=g(t)化简，然后从分段点拆分，分段积分。

分段函数

题型4：被积分函数含变限积分函数，且无法积分出来的 或者 被积分函数含有导数类型

要点：借助分部积分法，可对阶数进行升降处理。

类型一：被积分函数含变限积分函数，且无法积分出来.

识别特征：1.被积分函数含有变限积分函数；2.所含变限积分函数不可积分出；

解题要点：分部积分法&二重积分换序【理着口诀换序即可】

能识别出的前提：被积函数，变限积分函数要知道；不可积分函数要积累一些有重要用途。

【注意】是不可积分出来的变限积分函数才用分部或者二重积分换序，能积分出来就算呗。

【题外之话】：部分同学因为改了字母，就不会识别这类型可以看作为二重积分(请查概念) ∫dx∫f(x,y)dy=∫[∫f(x,y)dy]dx,倒着看:要会把先积分部分视为一元中的被积函数.

【重要】分部积分法的要点：先凑变限积分函数之外部分的微分，再用一次分部积分定理，就能把不可积分出来的变限积分函数求导干掉了。（好好看这句话，解题的关键）

仔细看看

常见不可积分的函数有哪些，它们有什么作用呢？1.在一元积分中出现，由于不可积分，因此暗示你分部积分处理；2.在二重积分先积分部分出现，由于不可积分，暗示你调换二重积分次序；亦可：先设不可积分部分为G(x)。3.以上两种途径均不可解决，那么你放心，必然是题中有相互抵消的部分。

常见不可积分的函数积累

类型二：被积分函数含有导数→方向：分部积分法

典型特征：被积分函数含有导数的定积分解题要点：分部积分法→把导数部分先凑微分 与上一类题恰好相反。

典型例题

题型5：含周期函数，三角函数是天生的周期函数，别看见三角函数没有冲动，以及结论。

典型特征：周期函数，三角函数 sinx cosx解题要点：用好有关的基本结论见前文，取好a=?（证明过程值得借鉴）

周期，三角函数的若干结论

题型6:区间再现型：几乎是超纲的，记住几个典型的。（考的概率很低，了解即可）

特别的∫x|sinx|dx这种再现值得借鉴上述公式的证明。【心得】：但凡你尝试了其他方法解决不出来的时候，进行不下去，往往就是利用换元法，区间再现来求解。

常见区间再现

题型7.大题考点，含参数积分的定积分。如何讨论，特别是绝对值类型，如何优雅的去绝对值(2次大题)

请详看下图含参数绝对值的定积分，如何分段处理的解决办法。

绝对值

如何用好题型分类？观点：任何时候基本概念，基本定理和基本方法，基本计算是基础和重点。题型只是辅助梳理。当然数学应试就避免不了题型的训练，并且部分经典命题模式已经固定，由此梳理常考的符合命题依据的科学分类的题型解题要点，程序有时候能提升解题速度。

很多人用不好题型的原因，是基于以下几个方面。

1.本来是题型课，可是你们自己做题的时候不会识别，反应不出来是课中那种题型。

2.对应的这类题的解题要点没梳理清楚，就算知道是这个题型，脑子里不知道分几步解，每一步做什么，怎么解，

3.怎么解，是需要相应的基本概念，基本定理和基本方法，以及扎实的基本计算作为依据的。（这里有问题也没办法）

4.独立，刻意重复练习太少，习惯看而不是动笔，过于沉迷视频等。缺乏大量的练习和总结。

两个情景的启发：

场景

要用好题型的前提，首先相应的基本功扎实，其次对题型的解题要点要梳理清楚，明确这类题的解题方向和步骤，知道这个题从那个角度切入，分几步解，每一步做什么怎么做。但是这个还得基于一个前提：就是你要能从茫茫题海中识别出这个题是属于见过的那种题型，场景问题中所说M国的人具有肤色的特征特点，其实题型分类往往基于题干条件的一些差别特点，比如对称区间，被积分函数含有变限积分，这些特征我想你只需要1S就能识别出来了吧。考场没有提示，因此平时需要关注这些特征，从那个特征看出来用那个方法，怎么做到“什么时候用什么方法”。微分方程中按类型求解，在此给你把定积分计算也按类型求解，你只要拿到一个定积分计算题，锁定对应的特征，然后根据上文梳理的解题要点去操作，基本考研数学的题是能完美搞定的。

举个栗子：

真题训练

本来这套体系应该结合我借助一些例题具体的讲解如何使用，那样的话更容易吸收。但是上文已经给了例题展示，目前也没有时间做视频分享。自己琢磨。考研数学一个典型的东西：特征→（定位了类型）→决定：方法并非所有的题型分类都靠谱，只是辅助梳理。关键是梳理清楚思维，个人觉得定积分计算部分可以采用题型分类来学习。上述题型分类和要点，只要你借助一定的题目来训练，我想你可以复制思维，1s钟之内就可以识别出那一种题型，是从而反应出解题的方向。因为特征太明显了。

本文档直接借助了部分资料的截图，再次表示歉意，由于没太多时间来键入公式与文字，但不做任何商业用途，单纯分享，望能理解。

谢谢收看本期节目。