在中考数学试卷中，几何综合探究最值问题往往作为压轴题出现，有一定的综合性和难度，但其解题思路和方法都是相对固定的，掌握其解题思路和方法就可以帮助我们快速找到解题思路和方法，将题目顺利解答。

在几何综合探究题中，有关线段最值及面积最值问题出现得比较多，现就以一道中考数学模拟题的几何综合探究题为例，来分析和讨论此类问题的解题思路、方法和要点。

先来看下题目：

题目分析：

这是一道几何综合探究题，一共包含三问，难度依次递增，尤其是第三问，需要建立数学模型，来解决实际问题。

先来看看第一问：

已知定线段BC=5，动点在定线段BC的上方，且满足点A到点B的距离是4，求△ABC的面积的最大值。

在三角形ABC中，BC为定线段，且长度为5，点A为定点，但到点B的距离为4，那么可以作出点A的运动轨迹，即点A在以点B为圆心，4为半径的圆周上移动。如图所示：

随着点A的运动，三角形ABC的形状和大小都在发生改变，但BC边保持不变，求三角形ABC面积的最大值，以BC为边，只需要求出BC边上高的最大值即可，也就是点A到BC的距离的最大值即可。

那么当点A运动到何处时，点A到BC的距离最大呢？从上图不难发现，当AB⊥BC于点B时，BC边上的高，也就是点A到BC的距离最大，等于AB的长度.则高的最大值为4，那么三角形ABC面积的最大值就是10.

第一问比较基础，几何图形分析即可得出答案。

再来看看第二问：

已知圆的一条弦及其长度，并且知道其所对的弧所对的圆心度数为60度，看到这组条件，立即能想到，标准的定角定弦问题。

在弦AC上存在一点D，满足BD=CD，结合∠ACB=60°，可知三角形BCD为等边三角形。

问题是求△ABD周长的最大值，现在AB边的长度已知，那么只需要求出AD+BD的最大值即可，题目中已知BD=CD，AD+BD的最大值就是AD+CD的最大值，也就是AC的最大值。

那么AC的最大值是多少呢？点C是一个动点，在圆上移动

我们知道，圆中最长的弦是直径。因此当AC为直径时，长度最大，此时△ABD的周长最大。

如图，当点C运动到C′时，AC最大，接下来求AC′ 的长度，也就是圆的直径即可。

根据题意可得，∠AC′B等于60°，∠ABC等于90°，这是一个特殊的直角三角形，根据三边关系，可以求出C′B等于4.C′A等于8.

所以三角形ABD周长的最大值为8+4倍的根号3.

第二问的关键是将AD+BD进行转化，然后再利用圆中最长的弦为直径，化折为直，进行分析和计算即可。

最后来看看第三问：

这种题目，第三问在分析和解答时，必然与前两问有着联系，其方法和思路有着共通的部分，因此在分析和解答第三问时，如果暂时没有思路，可以回头去看看第一问和第二问，参照其解题方法、辅助线方法及其转化方法，也许就能知道思路和突破口了。

简单分析第三问的条件，有一块四边形的土地ABCD，已知AB=BC=100，且AB和EG都垂直于BE，那么可得四边形ABCD为直角梯形，先分析到这一步。

这个题的关键在动点F，要求满足的条件很多，首先是两块水稻的种植面积要相等，这是这一问的第一个关键点。

两块水稻的种植面积要相等，也就是△ABC和四边形CGEF的面积要相等，在这这一步需要转化，转化到△ABF和△GBE中，这两三角形面积相等。

都为直角三角形，且一组直角边AB=BE，说明另一组直角边BF=GE，也就说明了，这两个三角形是全等的。

得到△ABF和△BEG全等之后，经过角的转化可以得到∠ACB=90°，即三角形ABC为直角三角形。

再看下一个要求，要满足△ABC的面积最大，且AC+BC尽可能长，这两个条件要同时满足。

先思考点C在何处时，能保证三角形面积最大：

刚才已经分析得到三角形ABC为直角三角形，且AB=100。

做△ABC的外接圆，如下图所示，以AB的中点为圆心，以AB长度一半为半径画圆，如下图中紫色的圆。

点C在紫色的圆上移动。

AB边上的高最大时，也就是点C到边AB的距离最大，三角形ABC的面积最大，这个问题在第一问已经解决过。

根据已知条件可得，当三角形ABC为等腰直角三角形时，点C运动到最高点，也就是图中的C′的位置时，距离AB的距离最大，此时△ABC边上的高最大，三角形面积最大。

经过计算可得，△ABC面积的最大值为2500.

再来思考AC+BC尽可能长这个要求：

求两线段长度之和的最大值，一般的思路是化折为直

也就是该如何将AC+BC转化到同一条线上呢？

那么可以AC的延长线上取一点B′，满足CB=CB′.

所以AC+BC=AC+CB′=AB′.

也就是需要求AB′的最大值。

我们发现：在三角形AB′B中，∠AB′B=45°，且AB=100，这又是标准的定角定弦模型，可以确定B′的运动轨迹。

做△AB′B的外接圆，则点B′在圆周上运动，如图中蓝色的圆。

经过分析发现当AB′ 为△AB′B外接圆的直径时，AB′最大，也就是点B′移动到图中H的位置。

经过计算，可得AH=100倍的根号2.

最后再来分析，面积最大和AC+BC最大能同时满足吗？

如图所示，当点C运动到三角形△AB′B的外接圆的圆心O时，即可保证AC+BC最大，也可以保证△ABC的面积最大。

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