在对图进行计算时，很常用的一个操作就是求若干条线段的交点，比如对图的叠加、截窗，需要频繁地计算线段交点，如果求交算法效率很低，上层的算法再优秀也表现不出好的性能。

两条线段交点的计算

先考虑一个很简单的情形：只有两条线段，求它们是否相交，如果相交，交点在哪？

如上图，如果线段[a0,a1]与[b0,b1]相交，则端点a0、a1必定落在[b0,b1]两侧，同时端点b0、b1必定落在[a0,a1]两侧。只要这两个条件同时满足，即认为两线段相交。（一条线段的端点落在另一条线段上也认为是两线段相交）

一种比较快速的方法是使用向量外积。三角形面积公式的向量形式为：

面积恰是两边a,b外积大小的一半。而外积是有方向的。判断两点是否同侧，只需要判断外积是否同号。比如对上面的图进行如下计算：

s1=(xb0-xa0)*(yb1-ya0)-(xb1-xa0)*(yb0-ya0)

s2=(xb0-xa1)*(yb1-ya1)-(xb1-xa1)*(yb0-ya1)

其中s1方向垂直屏幕向内，s2方向垂直屏幕向外，两者异号，所以点a0、a1位于线段[b0,b1]两侧。

同理，计算s3=(xa1-xb0)*(ya0-yb0)-(xa0-xb0)*(ya1-yb0)和s4=s2-s1+s3异号，可以确定b0、b1落在[a0,a1]两侧。（由面积恒等关系s4-s3=s2-s1可以直接计算s4）

确定两条线段相交，接着就要计算交点。这一步没有必要用向量计算，只要求解直角坐标下的方程组就好。不过需要注意端点重合的情况。

//inte[i][0]为交点x坐标//inte[i][1]为交点y坐标//_inteCount为之前找到的交点总数if(xa0==xa1 || xb0==xb1){	if(xa0==xa1)	{		b=(yb0-yb1)/(xb0-xb1);		inte[_inteCount][0]=xa0;		inte[_inteCount][1]=b*(inte[_inteCount][0]-xb1)+yb1;	}else{		a=(ya0-ya1)/(xa0-xa1);		inte[_inteCount][0]=xb0;		inte[_inteCount][1]=a*(inte[_inteCount][0]-xa1)+ya1;	}}else{	a=(ya0-ya1)/(xa0-xa1);	b=(yb0-yb1)/(xb0-xb1);	inte[_inteCount][0]=(a*xa1-b*xb1-ya1+yb1)/(a-b);	inte[_inteCount][1]=a*(inte[_inteCount][0]-xa1)+ya1;}

现在考虑有很多条线段的情形。如果把这N条线段两两检查交点，时间复杂度是O(n^2)，在线段数目很多时，计算速度会非常慢。这时，就需要扫描线算法了。

观察一下那些相交的线段有什么特点。把每条线段向y轴投影：

可以看出相交的线段的投影会彼此叠加，而且投影不重合的线段也不可能相交。

利用这个特性，用一条平行的直线从上到下平移，平移的过程中会与某些线段相交，在任何时刻只考虑这些与扫描线相交的线段之间是否相交。现考虑某时刻这条扫描线上的M条线段（M<=N）：

在这条扫描线上，相交的线段一定是相邻的，比如b和c。虽然存在b和d不相邻也相交的情况，但由于算法的特点，处理到那个交点时，b和d一定是相邻的。比如：

扫描线在点T上方时，c与d相邻，但b与d不相邻。找到交点T。但扫描线经过T到达S上方时，c与d的位置交换了，此时b与d相邻而且相交。所以，只有相邻的线段才有可能相交。

我们把相邻的线段称为互为邻居，比如a是b的左邻居，c是b的右邻居。

在扫描线行进的过程中，需要动态维护两个数据结构：

一条链表，负责记录所以线段的端点和已经找到的交点，每个点按y递减顺序存储（y相同的，按x递增排序）；一棵二叉树，负责记录与扫描线相交的线段（确切地说，保存的是每条线段的上端点），每条线段按照上端点的x坐标递增顺序存储。

所谓“扫描”，即程序从头到尾依次处理链表上的每个点，在每处理一个新的点时，会相应地更新链表和二叉树。

新的点共有三种，相应的处理方法如下所述：

新点是某线段的上端点：

把这个端点存入二叉树，然后在树中找到p0的左邻居pa和右邻居pb，检查p0与pa是否相交，p0与pb是否相交。如果有交点，把交点存入链表。

比如b的上端点接触到扫描线，只需要检查a与b是否相交，b与c是否相交。

新交点一定会在扫描线的下方，它在链表中的位置也一定在p0的后面，会在未来某个时刻得到处理。因为如果这个交点的位置在p0之前，说明扫描线在之前已经经过了这个交点，程序也已经处理过它了。

新点是某线段的下端点

在二叉树内找到p1相应的上端点，然后找到上端点的左邻居pa和右邻居pb。把p0从二叉树删除，检查pa与pb是否相交。如果有交点，把交点存入链表。

比如b的下端点离开扫描线，删除b后检查a与c是否相交。

新点是交点

输出这个交点的坐标。然后在二叉树中找到这个交点所在的两条线段pl和pr（假设pl在pr的左边），再找到pl的左邻居pa，和pr的右邻居pb，检查pr与pa是否相交，pl与pb是否相交。如果有交点，把交点存入链表。

比如b与c的交点接触到扫描线，检查a与c是否相交，b与d是否相交。

以上就是扫描线算法的全部细节。采用这种算法，可以把时间复杂度降到O(nlogn+klogn)，其中n是线段数目，k是交点数目。如果想了解这个时间是怎样计算出来的，可以参考《Computational Geometry Algorithms and Applications》（作者：M. de Berg, M. van Kreveld, M. Overmars and O. Schwarzkopf）。

我用C实现了这个算法，并且用OpenGL绘制出所有线段及交点。代码可以在这里下载：

这是程序运行的结果：