原作者：华东师范大学 李旭辉

冯·诺伊曼，J．(1903 年 12 月 28 日生于匈牙利布达佩斯；1957 年 2 月 8 日卒于美国华盛顿。数学家、物理学家、计算机科学家。

冯·诺伊曼出生于犹太人家庭。父亲麦克斯·冯·诺伊曼是位富有的银行家．1913 年，奥匈帝国皇帝弗朗西斯·约瑟夫一世授予麦克斯贵族的封号，诺伊曼家族的姓中便有了“von”字。

冯·诺伊曼自幼受到良好的教育．父亲特地聘请了家庭教师，向他系统传授 数学、外语、历史和自然常识，而他很早就显示出超人的记忆力和理解力．传说他 6 岁能心算 8 位数除法，8 岁掌握了微积分，12 岁时还学习了 E．波莱尔的《函数论教程》。

第一次世界大战爆发的 1914 年，冯·诺伊曼刚满 10 岁，被送入大学预科学习．他的过人才智引起了老师 L．瑞兹的注意，瑞兹觉得让冯·诺伊曼接受传统的中学教育是在浪费时间，应该对他进行专门的数学训练，使其天才得到充分发展．瑞兹把冯·诺伊曼推荐给布达佩斯大学的 J．屈尔沙克教授，屈尔沙克则安排助教 M．费克特担任了他的家庭辅导工作．他发表的第一篇论文，便是在不到18 岁时与费克特合写的，推广了切比雪夫多项式求根的费耶尔定理．1921年他通过中学生毕业考试时， 已被公认为前途远大的数学新秀。

这之后的四年，冯·诺伊曼先后在柏林大学和瑞士苏黎世的同业高等技术学院攻读化学，同时保留着布达佩斯大学数学系的学籍．每学期末，他都要从欧洲赶回布达佩斯，探望家人并参加数学考试．1925 年和 1926 年春，他先后获得了苏黎世的化学工程学位和布达佩斯大学的数学博士学位。

在柏林，冯·诺伊曼参加过 A．爱因斯坦关于统计力学的讲座并 跟随 E．施密特学习；在苏黎世，他与 H．外尔和 G．波利亚都有过密切接触．冯·诺伊曼曾说，对他早年学术思想影响最大的数学家，便是外尔和施密特． 他还数次前往格丁根大学，拜访大数学家 D．希尔伯特．他被希尔伯特的量子力学和证明论深深吸引住了．希尔伯特也非常赏识这位年轻学者，1926 年初他尚未拿到博士学位时，希尔伯特就设法为他谋到了哥廷根大学的访问学者资格。

1927—1929 年，冯·诺伊曼被聘为柏林大学的义务讲师，其间在集合论、 代数学和量子理论方面取得了大量研究成果，受到数学界的瞩目．1929 年他转入汉堡大学任义务讲师．经外尔推荐，他于1930 年以客座讲师的身份来到美国普林斯顿大学数学系，第二年成为该系终身教授。这样，他每年有一半时间生活 在欧洲，另一半则在美国度过． 1933年，高级研究院在普林斯顿成立．冯·诺伊曼从一开始便受聘担任研究院的数学物理终身教授，年仅 29 岁，是院内最年轻的教授．他在1937 年取得了美国公民权． 当时，世界经济正处于大萧条时期，战争的阴云笼罩着欧洲，而普林斯顿却成为数学和物理学精英云集之地．在浓厚的学术气氛和安定的生活中，冯·诺伊曼一直全身心地从事着研究工作．1932 年，他从数学上总结了量子力学的发展， 出版《量子力学的数学基础》一书，同时推出了著名的弱遍历定理．1937 年他发表关于算子环的理论，还确立了连续几何学．希尔伯特第五问题的部分解决，也是他在这个时期的主要成就之一。

1930 年。冯·诺伊曼与 M·柯维斯结婚，女儿玛丽娜在 1935 年出生．两年后，他们的婚姻破裂．1938年夏，冯·诺伊曼回布达佩斯讲 学、探亲，与克拉拉·丹结婚并于年底一起来到了普林斯顿．克拉拉后来成为首批为计算机编制数学问题码的学者之一． 第二次世界大战爆发后，冯·诺伊曼的科学生涯发生了转折．1940年，他被阿伯丁弹道实验研究所聘为科学顾问，1941年受聘任海军兵工局顾问．从1943 年底起，他又以顾问身份参加了洛斯阿拉莫斯研究所的工作，指导原子弹最佳结构的设计，探讨实现大规模热核反应的方案．在数学上，除了解决各种数值计算问题外他的最重要成就是 1944 年正式创立了对策论和现代数理经济学。

大战后期，他转向电子计算机的研究．1944 年夏，他参观了尚未竣工的第一台电子计算机 ENIAC，并参加了为改进计算机性能而举行的一系列专家会议． 此后一年里，他提出电子计算机及程序设计的崭新思想，制订出两份全新方案— EDVAC 机方案和 IAS 机方案．1951 年，IAS 机研制成功，证明了他的理论的正确性．大战结束后，冯·诺伊曼担任高级研究院计算机研究所所长，同时继续在美国海军武器实验室等军事机关中服务．1954 年 10 月，他被任命为美国原子能委员会委员，便于次年辞去了在高级研究院的职务，由工作、生活了 23 年的普林 斯顿迁居到华盛顿。

从 40 年代末直到逝世前，冯·诺伊曼还集中研究了自动机理论，包括对各种人造自动机和天然自动机的比较，解决自动机的自适应、自繁殖和自恢复等问题．1951 年发表“自动机的一般逻辑理论”，开辟了计算机科学的一个新领域，并为以后人工智能的研究奠定了基础。

1955 年夏，冯·诺伊曼被确诊患有骨癌，病情迅速恶化．他在轮椅上坚持进行思考、写作，参加学术会议，还为耶鲁大学准备了希利曼讲座的讲稿．1957 年 2 月 8 日，他在华盛顿陆军医院与世长辞，享年 53 岁．

冯·诺伊曼一生担任过许多科学职位，获得了众多荣誉，最主要的有：1937 年获美国数学会博歇奖；1947 年获美国数学会吉布斯讲师席 位，并得到功勋奖章(总统奖)；1951—1953 年任美国数学会主席；1956 年获爱因斯坦纪念奖及费米奖． 他发表的学术论文共有150 余篇，全部收录在 1961 年珀格蒙出版社出版的 《冯·诺伊曼文集》中．其中 60 篇是纯粹数学方面的，60 篇关于应用数学，20 篇属于物理学．冯·诺伊曼以其超人 的才思和丰硕的学术成果，成为一代科学巨匠。

纯 粹 数 学

冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925—1940 年，主要可分为以下 六个方向。

1．集合论与数学基础

本世纪初，为了克服悖论给 G．康托尔集合论带来的困难，并系统整理康托尔的理论与方法，人们开始致力于公理化方法的研究．1908 年，出现 了两个著名的公理系统：E．策梅罗的系统[后由 A．弗伦克尔和 A．斯科朗修改补充，成为 ZF 公理系统]和 B．罗素的类型论． 冯·诺伊曼很早就对集合论问题感兴趣．1923 年还在苏黎世就读期间，他发表了自己的第二篇论文“超穷序数引论”，力图将康托尔的序数概念“具体化、精确化”．在康托尔的定义中，序数是良序集的序型，而根据 ZF 公理系统，序型的存在性是无法证明的．冯·诺伊曼借助于ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理，给出了序数及超限序数形式化的新定义，这种定义一直沿用至今。

此后六七年中，他积极传播公理化的思想，并试图建立更具形式化和精确性的公理系统．1923 年，他向德国《数学杂志》编辑部提交了长篇论文“集合论的公理化”，施密特代表编辑部把论文推荐给集合论方面的权威弗伦克尔．经过与弗伦克尔详尽地探讨，冯·诺伊曼根据原文写出一篇介绍性文章“集合论的 一种公理化”，于 1925年发表。

“集合论的公理化”后来成为冯·诺伊曼的博士毕业论文．它所建立的公理体系经 P．贝尔纳斯和 K．哥德尔完善之后，形成了公理化集合论中又一新的系统——NBG系统． NBG系统不像 ZF 系统那样，把集合与从属关系作为原始概念，并采取限制集合产生的办法来达到排除悖论的目的，也不同于类型论中以集合与层次的语言描述集合体系．它的特点是在“集合”与“属于”之外，引入了“类”作为不定义概念，比集合的概念更具概括性．类分为集合和真类，规定真类不能作为类的元素．这样，就排除了由“所有集合的集合”产生悖论的可能性．与 ZF 公理系统相比，NBG系统保留了更多、更有用的论证方法．而且在ZF系统中，包含着由无穷多条公理组成的公理模式，NBG系统则不含公理模式，是一有穷公理系统，有着如同初等几何公理那样简单的逻辑结构，这是它最主要的 优点．现已证明，NBG系统是ZF系统的扩充．哥德尔在证明选择公理与连续统假设同其他公理的相容性时，就受到了 NBG 系统的启发．到今天，NBG系统仍是集 合论最好的基础之一．与集合论公理化的工作相适应，冯·诺伊曼在 20 年代后期参与了希尔伯特的元数学计划．1927年的文章“关于希尔伯特的证明论“对数学形式主义的基本概念进行了阐释．它指出，希尔伯特元数学计划所提出的各种问题，虽经希尔伯特本人及贝尔纳斯、W．阿克曼等人的努力而有所进展，但从总体上而言仍未得到令人满意的解决．尤其是阿克曼关于自然数论无矛盾性的证明，不能在古典分析中实现。

1931 年，哥德尔不完全性定理提出之后，希尔伯特计划的完全实现落空了．对此，冯·诺伊曼并未感到过分惊奇，因为早在1925 年发表的“集合论的一种 公理化”中，他便隐约地预见到哥德尔的结论：任一形式化体系中都存在着本系统内无法判定的命题．原文的最后一句话是：“暂时，除了陈述集合论本身的缺陷外，我们还能做什么呢？没有一种已知的方法可以避免其中的困难．”他认为，“由哥德尔的结果应当引出一条新的途径，去理解数学形式主义的作用，而不应把它当作问题的结束．”他本人对数学基础保持着长久的兴趣，并在后期关于计算机逻辑设计和机械化证明中得到体现。

2．测度论

测度论在冯·诺伊曼的整个研究工作中并非处于中心地位，但他给出了许多很有价值的方法和结果。

在 1929 年的“一般测度理论”一文中，冯·诺伊曼对群的子集讨论了有限可加测度。n 维欧氏空间Rn中的“测度问题”是：Rn的幂集上，是否存在一非负、正规化且关于刚体运动不变的可加集函数？F．豪斯多夫和 S．巴拿赫证明：测度问题在n为1和2时有无穷多个解，在其他情况下无解．这个结论给人的感觉是：当维数由 2 变为 3 时，空间的特性发生了根本的、难以捉摸的变化。冯·诺伊曼则指出，问题在本质上是属于群论的，造成性质差异的根源在于群的变化而非空间的变化．探讨测度问题的可解性，需要用到群的可解性这一代数概念。

他继续运用群论的思想，分析了豪斯多夫-巴拿赫-塔尔斯基悖论： Rn(n≥3)中两个不同半径的球，可以分别被分解为有限个互不相交的不可测子集，使两球的子集间可建立起两两全等的关系(在 n 为 1 或 2 时，这种分解不存 在)．他解释说，这是因为在n为3或更大时，正交群包含着自由非阿贝尔 群，而在小于 3 时则不然。

这样，测度问题便从Rn推广到了一般的非阿贝尔群．而巴拿赫关于R2的一切子集使用同一测度的可能性被证明对阿贝尔群的所有子集也成立．最后，他得 出结论：所有可解群都是可测度的(即某种测度能够引入到可解群上)． 这篇文章属于最早将集合论的结果从欧氏空间推广到更一般的代数和拓扑结构中去的工作之一．从那时起，这种思想方法开始受到了更广泛的重视． 同一时期，匈牙利数学家 A．哈尔提出这样一个问题：在 Rn中是否有 一种挑选可测子集的方法，使得每个子集均与给定的集合等价，并且选择过程保持有限集运算？冯·诺伊曼给出了肯定的回答，并把结论推广到可测函数的情形． 这成为解决测度分解问题的出发点．1935 年，他还与 M．斯通合作，讨论了更一般的问题：A是一布尔代数，M为A的理想，何时存在A的子代数，使 A 到 A／M 的映射限制在子代数上时为同构？他们给出了存在性的各种充分条件． 另一成果是他在1934 年对紧致群证明了哈尔测度的唯一性(在相差常数因子的意义下)．证明过程中构造了紧致群上连续函数的“不变平均”，用到不同于哈尔的方法来引进测度：以光滑测度m′代替给定的左不变测度m，m′由下式定义：

其中ω为适当的权函数．m′不但具有 m 的所有性质，且具有右零不变性． 这些方法在后来他与 S．博赫纳研究可分拓扑群上殆周期函数时得到了系统的应用．1933—1934年，冯·诺伊曼在高级研究院作过有关测度论的报告，非常详细地阐释了欧氏空间中勒贝格测度的古典理论，并推广到抽象测度空间中．报告的内容在很长一段时间内是美国在测度论方面的主要资料来源，1950 年由普林 斯顿出版社编辑成为《函数算子》一书。

3．遍历理论

冯·诺伊曼在这一领域的首要成就，是证明了平均遍历定理(mean ergodic theorem，亦称弱遍历定理)．19 世纪 70 年代，L．玻尔兹曼提出了统计力学中的遍历性假设，并希望以此为前提，推导出保测变换的空间平均等于 (离散)时间平均，这就是玻尔兹曼计划．从数学上实现这一计划，首先需要证明作为时间平均的极限的存在性．1931 年，B．库普曼和 A．韦伊同时发现，由保测变换诱导出的函数算子是酉算子．它给冯·诺伊曼以很大启示．当时，他正致力于算子理论的研究， 这一发现促使他尝试着用希尔伯特空间的自共轭算子去解决存在性问题．很快， 他便提出并证明了遍历理论的第一个重要定理——平均遍历定理：

​ 在这一结果发表(1932 年)之前，冯·诺伊曼把它介绍给了 G．D．伯克霍夫和库普曼．伯克霍夫将“依平均测度”意义下的收敛改善为“处处收敛”，得出了更强的结论—逐点遍历定理，并于1931 年 12 月率先发表．尽管如此，由于伯克霍夫与库普曼在1932 年撰写了“遍历理论的近期发展” ，使学术界了解到遍历定理产生的前因后果，冯·诺伊曼的首创性工作得到了肯定． 不久，第 33 卷《数学纪事》又刊登了他颇 具影响力的文章“古典力学中的算子方法”，这标志着对遍历理论系统研究的开端．论文首先给出了平均遍历定理的详尽证明，然后推出 6 条重要的定理．第一 条是分解定理：任何保测变换均可分解为若干遍历变换的直积分．它说明在所有保测变换中，具有遍历性的是最基本、最重要的，任何保测变换都可由它们构造而得．定理 2 则进一步指出，单参数保测变换群的分类问题在本质上可归结为对遍历变换进行分类。

保测变换的分类问题后来成为遍历理论的中心问题，其中最关键的第一步， 当属冯·诺伊曼与 P．哈尔莫斯1942 年共同证明的结论： f1和 f2分别是有限测度空间 X1和 X2上的保测变换，U1和 U2分别是 X1，X2在 L2 上诱导出的酉算子．若f1，f2有离散谱，则f1与 f2同构当且仅当U1和 U2作为希尔伯特空间上酉算子时是相同的． 冯·诺伊曼在处理遍历理论的问题时，往往着重于测度和谱的内在联系．定理 5 就是关于离散谱的典型结果：对于具有纯点谱的酉算子 U(由遍历变换诱导而得)，其谱实际上构成实数群的一可数子群；反过来，实数群的每个无穷可数子群均可作为某些遍历变换所诱导的酉算子的纯点谱．与此对应，又有冯·诺伊曼和库普曼关于连续谱的混合定理．它断言：遍历变换的几何性质(混合性)与酉算子的谱性质(无非平凡的特征值)是等价的． 对于冯·诺伊曼在测度论和遍历理论方面所取得的成果，哈尔莫斯给予了如此的评价：“从文献数量上看，它们尚不及冯·诺伊曼全部科学论著的十分之一， 但就质量而言，即使他从未在其他方面作过研究，这些成果也足以使他在数学界享有永久的声望．”

4．群论

冯·诺伊曼的一个著名成果，是在 1933 年对紧致集解决了希尔伯特第五问题．早在 1929 年，他曾证明对连续群有可能改变参数，使群的运算成为解析的． 具体地说，对于 n 维空间中的线性变换群，它有一正规子群，可以被解析地且按有限个参数一一对应的方式局部表出．这是第一篇对解决希尔伯特第五问题做出贡献的文章． 1933 年，他在《数学纪事》第 34 卷上发表“拓扑群中解析参数导论”，证明每个局 部同胚于欧氏空间的紧致群允许一李群结构．这样，希尔伯特第五问题在紧致群的条件下得到了肯定的回答． 问题的解决用到了彼得-外尔积分在群上的类比、施密特的函数逼近定理及 L．E．J．布劳威尔关于欧氏空间的区域不变性定理，体现出 冯·诺伊曼丰富的集合论与实变函数知识以及他对积分方程、矩阵计算技巧的熟练应用。 另一项工作亦同群论相关：群上的殆周期函数理论．他把 H．玻尔首创的实数集上殆周期函数概念扩展到任意群G 中， 继而在新的殆周期函数理论与彼得、外尔的群表示理论之间建立起联系，他由此指出，群上的殆周期函数构成了群表示理论的最大适用范围。

5．算子理论

对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个科学生涯，这方面的论文占他全部著述的三分之一，他在这个领域有着 20 多年的领导地位。

1927—1930 年，他首先给出了希尔伯特空间的抽象定义，即现在所使用的定义．然后，对于希尔伯特空间上自共轭算子谱理论从有界到无界的推广，做了系统的奠基性工作：引入稠定闭算子的概念，给出无界自共轭算子、酉算子以及 正规算子的谱分解定理，指出了对称算子和自共轭算子在性质上的差异，还与外尔共同研究了无界算子经过扰动后谱的变化规律．冯·诺伊曼的谱理论的形成，加上1933 年巴拿赫所著《线性算子理论》 一书的问世，标志着数学领域中又一新 的分支—泛函分析的诞生． 20 年代，E．诺特和 E．阿廷发展了非交换代数理论，冯· 诺伊曼意识到这是对矩阵论极好的阐释和简化，他尝试着将有关概念扩展到希尔伯特空间上的算子代数中，由此产生了“算子环”的概念：关于弱(或强)算子拓扑为闭且含有恒等算子 I 的＊子代数称为算子环．算子环可以认为是有限维空间 内矩阵代数的自然推广，后来被人们称为冯·诺伊曼代数，以示对冯·诺伊曼的纪念．而在同构意义下，它又可称作W*代数． 算子环的正式定义出现在冯·诺伊曼 1929 年的论文“函数运算代数和正规算子理论”中．这篇论文还包括了“交换子”、“因子” 等重要定义，以及二次交换子定理。

从 1935 年开始，冯·诺伊曼在 F．J．默里的协助下，又写出了题 为“论算子环”的系列文章。他们的首要结论是：算子环可以表示为因子的连续直积分．因此，对算子环的研究便归结为对因子的研究。

6．格论

在这些结论的证明过程中，冯·诺伊曼又发展了一些新的思想方法，其中主要是关于格的分配性：数对的分配性、独立元的分配性和无穷分配性等．他最早发现，在布尔代数中，交与并的运算必然是无穷分配的，而这种分配性又等价于 连续性． 他在格论方面的工作大部分未能及时发表，主要通过1935—1937 年高级研究院的讲义《复域几何》、《连续几何》及美国科学院会议录得以保存和传播。

应 用 数 学

1940 年以后，随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展，冯· 诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中，主要是计算数学和对策论两方面的工作。

1．计算数学

冯·诺伊曼认为，描述物理现象的方程一旦用数学语言给予表达，就可以从数值上得到解决而无须借助于常规方法或进行重复试验．他在计算数学方面的努力，是与他的这种观点以及解决实际问题的困难程度分不开的． 大战中，各种技术问题引起了快速估计和逼近解的需要．这些问题往往涉及 一些不能忽略或分离的外部扰动，必须借助数值方法进行定性分析．冯·诺伊曼 从数值稳定性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索．1946 年，他和 V．巴格曼、D．蒙哥马利合作．向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”，对线性方程组的各种解法进行了系统阐述，并探讨了利用计算机进行实际求解的可能性． 1947 年，他又同 H．哥德斯坦研究了高阶矩阵的数值求逆，并给出严格的误差估计，特别是对150 阶矩阵求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果．在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况时，冯·诺伊曼创始了人工粘性法．例如，物理学上有系统守恒律 ：

​它所描述的系统即使在初值光滑的情形下也会自发地产生间断性(激波)．冯· 诺伊曼和R．里希特迈耶把它看成分布方程，求解过程便相当于寻 求有效的数值算法来计算分布导数．他们以抛物正则方程：

代替原方程，使分布导数成为普通导数，从而可用有限差分来近似，这样得出的解总是光滑的．这种在计算公式中人为加入“粘性”项的方法，使激波间断成为光滑的过渡区，激波的位置与强度便很容易确定了．人工粘性法是现代流体动力学中拉格朗日方法的第一个例子，提供了在电子计算机上对流体力学进行数值模拟的有力手段． 电子计算机产生之后，冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法，从而推动了计算数学的兴起与形成，也使他成为现代科学计算的奠基人之一。

2．对策论与数理经济对策论与数理经济

冯·诺伊曼是对策论(又称博弈论)的创始人和现代数理经济学的开拓者之一．本世纪 20 年代，波莱尔最早用数学语言刻画了博弈问题，引进纯策略与混 合策略的概念，并提出解决个人对策与零和二人对策的数学方案．但是，对策理 论作为学科的真正创立，则是从冯·诺伊曼1928 年发表“关于伙伴游戏理论”开始的。文中最重要的结论，是关于零和二人对策的极小极大定理：m×n 矩阵 A 是正规化零和二人对策的支付矩阵，x 和 y 是对局双方采取的混合策略的概率向量，存在唯一数值 v，使得:

​ 以极小极大定理为依据，冯·诺伊曼首先讨论了合作对策问题，特别是零和 三人对策中有两方联合的情形．为了给出合作对策解的概念，他引入特征函数的思想．最后又明确表述了n 个游戏者的一般博弈方案，结果表明：在附加条件下，n人对策问题的解是存在并且唯一的。

极小极大定理是对策论的基石．30年代，冯·诺伊曼本人及其他数学家陆续给出此定理的一些新的证明方法．到了 40 年代，A．瓦尔德以极小极大定理为基础，把决策过程视为人与环境进行的二人对策问题，由此开创了统计决策理论．从那时起，对策论成为应用数学中一个活跃的研究领域． 1940 年，奥地利经济学家 O．摩根斯坦来到普林斯顿，他使冯·诺伊曼对经济问题特别是货物交换、市场控制和自由竞争等产生兴趣．经过四年的合作，他们出版了《对策论与经济行为》．这部著作对 1928 年的论文进行了进一步阐述，如增加了“分配” 、“控制”的概念，定义了冯·诺伊曼-摩根斯坦解．全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的．对策论在经济理论基本问题中的应用，是书中另一重要成果．他们认为，尽管当时的经济学还处于发展早期—如同16 世纪的物理学，但最终它必将也像物理学一样，发展成为一门严密的数理科学．而对策论就是迈向综合性的数理经济学的第一步．这实际上体现了冯·诺伊曼将社会科学也纳入公理化数学体系的愿望． 早在 1932 年普林斯顿举办的一次学术讨论会上，冯·诺伊曼还讨论了一般经济平衡的模型化问题．他给出货物生产与消费的一个经济模型，并指出了模型 问题与极小极大定理的密切关系：当把经济活动视为零和对策问题时，经济模型 的平衡点就是对策问题中的极大极小值 v。