因式分解与方程关系紧密，两个话题都是很有深度与广度的话题，本文试着简单说明一下。本文重点在于因式分解，提到方程主要是为了加深对因式分解的理解。本文提到的一些定理与结论供开阔视野，初中涉及的因式分解题目不会太难。

现行初中教材关于因式分解的定义是"把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解"，基于这个定义，我们可以知道初中的因式分解默认是在实数域上进行的。当然这个关于因式分解的定义不太严谨，比如x+1=4*0.25*(x+1)也是符合上述定义的，显然这样的因式分解没有意义。

所以更好的因式分解可以定义如下：

在实数域上将f(x)分解为g1(x)...gk(x)，其中gi(x)的次数小于f(x)的次数且大于0次。当然这个定义对初中生朋友可能有些抽象。

虽然按照教材定义，因式分解默认是在实数域上分解的，即允许分解得到的因式系数为实数，即允许为无理数，但是常规的考试中基本都是在有理数域，甚至整数域上进行的。当然，实践中需要根据具体题目的要求作答。

关于因式分解的技巧，可以参考之前的文章。

01

因式分解与方程的关联

因式定理将因式分解和方程紧密地联系在了一起。因式定理如下：

如果f(a)=0，那么(x-a)必然是f(x)的因子；如果(x-a)是f(x)的因子，那么f(a)=0。

所以，因式分解常用的一个方法是试根法，即只要能猜出f(x)=0的一个根a，那么根据因式定理可知(x-a)就是f(x)的一个因子，然后就可以用长除法或者待定系数法得到f(x)/(x-a)，然后继续用试根法或者其他的方法进行分解。

另外，对于f(x)，如果将其因式分解为f(x)=g(x)h(x)，那么方程g(x)=0和h(x)=0的根都是方程f(x)=0的根。

这里容易产生一个误解。即当f(x)=0没有实根的时候，f(x)还能在实数域上进行因式分解吗？可以参考深入探讨一道美妙的北大因式分解题。

答案是可以的，具体的结论会在后续章节说明。这里可以举反例进行说明。

x^2+x+1=0根据根的判别式可知没有实根，那么(x^2+x+1)(x^2+x+1)=0也没有实根，而显然(x^2+x+1)(x^2+x+1)的展开式可以分解为(x^2+x+1)(x^2+x+1)，是可以因式分解的。

02

方程相关的定理

这里仅例举部分，会涉及到高中将要学习的复数相关的知识，以及高等代数的一些知识，仅供开阔视野。

代数基本定理：任何一个一元复系数方程都至少有一个复数根。等价的表述是：任何一个非零的一元n次复系数多项式，都正好有n个复数根。

求根公式：对于一元n次方程, n<=4时有求根公式；n>=5时没有通用的求根公式。特别地,n=3,4时虽然有求根公式，但是比较繁琐。

实系数多项式方程的根：如果z是实系数多项式方程的根，那么z*(即z的共轭复数）也必然是此方程的根，且根的重数一样。

03

因式分解相关的定理

这里仅例举部分，会涉及到高中将要学习的复数相关的知识，以及高等代数的一些知识，仅供开阔视野。

次数大于2的实系数多项式在实数域上必然可以因式分解。因为实系数多项式的复数根必然是成对共轭的，而(x-z)(x-z*)相乘的结果是一个实系数的二次式，这就意味着次数大于2的实系数多项式必然可以分解为一系列一次式或者二次式的乘积。

艾森斯坦判别法：对于整系数多项式anx^n+...+a1x+a0，如果存在质数p，使得：

p不整除an，但是整除其他ai, 0≤i≤n-1;

p^2不整除a0;

那么上述多项式在有理数域上不可以因式分解；

试根法：对于整系数多项式anx^n+...+a1x+a0，如果其存在有理根p/q，其中p和q互质，那么p一定是a0的整数因子，q一定是an的整数因子。特别地，如果an=1，那么其有理根必然是整数，且必然是a0的整数因子。

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