【题目呈现】

如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，AC=6，BC=8，CD平分∠ACB交⊙O于点D，求CD的长.

【分析】这是学生问的一道题，感觉非常经典，能够运用很多知识，对于扩散同学们的思维，提高解题能力大有帮助！

首先分析背景知识，看到AB是直径，想到∠ACB=90°，想到勾股定理，∵AC=6，BC=8，∴AB=10，又CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，由"等弧对等角，对等弦”，得∠DAB=∠DBA=45°，AD=BD，∴△ADB为等腰直角三角形，∴AD=BD=5√2.如图

方法一，△ABC三边确定，角平分线确定，所以各边定能算出，遇到特殊角，我们应想到"解三角形”模型.

过A点作AE⊥CD于E，如图

则AE=CE=3√2，而∠ADE=∠ABC，∴tan∠ADE=tan∠ABC=3/4，∴DE=AE/tan∠ADE=3√2÷(3/4)=4√2，∴CD=CE+DE=7√2.

当然DE也可用勾腰定理算出(AD=BD=5√2).当然从B点作CD的垂线同样也能算出CD的长.

方法二，利用相似求CD的长.

过点C作CE⊥AB于E，连接OD则OD⊥AB，设CD与AB交于F点，如图

∴△CEF∽△DOF，用时出现了"射影型"相似，AE，CE，OE，OD均可算出，由射影型相似，算出AE=18/5，OE=OA一AE=7/5，由面积法算出CE=24/5，由△CEF∽△DOF，得CE/OD=24/25，则EF/OF=CF/DF=24/25，∴EF=OE×24/49=24/35，从而CE/EF=7，∴EF/CF=1/5√2，因而CF=5√2EF=24√2/7，∴CD=CF×49/24=7√2.

方法三，我们学过"一线三垂直模型"，但同学们是否真正会用呢？依托等腰直角三角形ADB构造"一线三垂直"模型.

①过A作AE⊥CD于E，过B作BF⊥CD于F，则△AED≌△DFB，有AE=DF，DE=BF，而AE=CE=3√2，BF=CF=4√2，∴CD=7√2.也可称为用全等法证明.

②依托等腰直角三角形，过D作DE⊥AC交CA延长线于E，过B作BF⊥DE，交ED延长线于F，如图

易得△AEF≌△DFB，∴AE=DF，边时四边形CEFB为矩形，设AE=DF=x，则ED=8一x，BF=6十x，∴8一x=6十x，x=1，∴CE=ED=7，则CD=7√2.(此法也可称为矩形构造法)

方法四，角分线，垂两边.

利用角平分线的性质，是见角平分线时常见的辅助线，如图

过D作DF⊥BC于F，作力E垂直CA交CA的延长线于E，易证△DEA≌△DFB，则AE=BF，DE=DF，同时四边形CEDF为矩形，设AE=BF=x，则CE=DF=6十x，CF=DE=8一x，则6十x=8一x，x=1，∴CE=DE=7，CD=7√2.(此方看上去与上边相类似，但他是从另一角度出发找到的方法，所看问题的角度完全不同).

方法五，旋转法.

依托等腰直角三角形ADB，共顶点，等两边的条件，为利用旋转法提供了天然依据，如图，以D为定点，将△ACD顺时针旋转90°至△BED.

由于∠DAC+∠DBC=180°，∴C、B、E三点共线，这时BE=AC=6，则CE=CB十BE=14，在等腰直角三角形CDE中，CD=7√2，需要说明的是也可将△BDC绕定点D逆时针旋转90°，同样达到目的.

方法六，角分垂，等腰归

当角平分线与其垂线相遇时，就出等腰三角形，这种辅助线前边多次提到，如图过D点作CD的垂线EF，交CA的延长线于F，交CB的延长线于E，

易证CF=CE，易证△ADF≌△BDC，△EDB≌CAD，则CF=CE=14，在等腰直角三角形ECF中，CD是三线合一中的那一条线，CD=7√2.这个图似曾相识，"老朋友”几天未见有点遗忘，你一定见过，做过.

方法七，解析法(数形结合法)

通过前面的分析想到，既然图形规整，能否用搬到坐标系上呢？于是以⊙O为原点，直径所在直线为x轴，建立如图的坐标系，

则A点坐标为(一5，0)，D点坐标为(0，一5)，只要求出C点坐标，CD长则可求，作CE⊥AB于E，由面积法得CE=24/5，AC=6，在Rt△AEC中求出AE=18/5，则OE=7/5，∴C点坐标为(一7/5，24/5)，利用两点距离公式求出CD=7√2.

【总结反思】看见特殊角，想三角函数法，想相似，同时把自己记的各种模型进行对比，分析，看什么情况下用哪种模型.总之"多思”要成为习惯，他是提高解题能力的有效有段.人们说，信息创造价值，我说，多思考，善于思考，决定一切。

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